SONAR è l'acronimo di SOund Navigation And Ranging. Si tratta di un dispositivo ad ultrasuoni montato sui sommergibili, in quanto in navigazione subacquea non è possibile utilizzare le microonde a causa dell'elevato potere assorbitivo dell'acqua.
Di seguito lo schema di massima.
Un trasmettitore T emette ultrasuoni sottoforma di pacchetti d'onda piana longitudinale. La funzione d'onda di singolo pacchetto può essere scritta come
dove k è il vettore di propagazione:
essendo λ la lunghezza d'onda e n il versore della direzione orientata di propagazione. La grandezza ω(k) è, invece, la pulsazione in funzione del numero d'onde k=|k|. Come è noto dalla teoria della propagazione ondosa, tale funzione descrive il fenomeno della dispersione. Più specificatamente, se ω(k) è una costante o al più lineare in k, non c'è dispersione e il pacchetto conserva il profilo iniziale. Per semplicità consideriamo il caso particolare:
Cioè la dipendenza temporale della ψ(x,t) è un'oscillazione sinusoidale di durata τ. Ponendo l'origine del sistema di riferimento in T, si ha:
Per una frequenza ν0=21kHz
Per la durata di singolo impulso assumiamo τ=2.619*10^-4 s . L'andamento di f(t) è plottato in figura:
Calcolando la trasformata di Fourier della funzione f(t) otteniamo
Come è noto dall'Analisi di Fourier, tale funzione esprime la densità spettrale della f(t), ovvero definisce l'ampiezza delle componenti monocromatica di pulsazione compresa tra ω e ω+dω. In figura riportiamo la densità spettrale con i dati numerici visti sopra.
La "larghezza" della g(ω) è controllata dalla durata τ del segnale. Più precisamente, al crescere di τ, g(ω) diviene più piccata intorno a ω0, per cui il contributo proveniente dalle componenti di Fourier con ω=ω0 diviene progressivamente più trascurabile. Viceversa, al diminuire progressivo di t vediamo che g(ω) tende ad "allargarsi". Ciò significa che le componenti di Fourier di pulsazione ω=ω0 assumono un'ampiezza non trascurabile. In generale, la larghezza di g(ω) è l'ampiezza dell'intervallo
Cioè
Dopo questa necessaria premessa matematica, torniamo al trasmettitore ad ultrasuoni T. Se un pacchetto d'onde incontra un bersaglio B, viene riflesso verso T, e supponiamo che quest'ultimo sia equipaggiato con un sistema di ricezione in grado di rivelare il segnale riflesso. Facciamo ora le seguenti ipotesi semplificative:
- La propagazione del segnale riflesso avviene per onde sferiche. Più precisamente, avviene isotropicamente nel semispazio di appartenenza del pacchetto incidente.
- Il sistema ricevente ha una sensibilità tale da poter misurare un segnale la cui energia sia e-2µ volte minore di quella del pacchetto incidente, dove µ>0. Più precisamente, se E1 ed E2 denotano rispettivamente l'energia dell'onda incidente e riflessa, affinché il pacchetto riflesso possa essere rivelato deve essere:
Viceversa, se risulta
l'impulso riflesso non viene rivelato. Il numero reale positivo µ si chiama sensibilità del ricevitore.
Per quanto visto nel punto 2, se S è la superficie del ricevitore, si ha
dove s è la superficie della semisfera di raggio r=TB (distanza tra T e B) e di centro B:
Segue
onde
essendo
Tale grandezza definisce la massima distanza, nel senso che un bersaglio B può essere intercettato solo se dista da T di r<=rmax. Si noti che la massima distanza è una funzione esponenzialmente crescente della sensibilità dell'apparato. Ad rmax corrisponde un tempo di percorrenza tra andata e ritorno, pari a
dove c è la velocità del suono nel mezzo considerato. I singoli pacchetti d'onda dovranno quindi essere trasmessi a intervalli di tempo
affinchè sia possibile rivelare il pacchetto di ritorno, prima che venga trasmesso quello successivo. Se il bersaglio B si muove con velocità v lungo la congiungente bersaglio-ricevitore (in allontanamento o in avvicinamento), lo spostamento Doppler della frequenza della generica componente monocromatica del pacchetto riflesso è
Cioè
dove v>0 se B si avvicina. Ricordiamo che
con δν=1/τ. Segue
onde
da cui è possibile misurare la velocità v attraverso la misura di Δν.