[¯|¯] Gruppo delle applicazioni bi-iettive. Gruppo delle sostituzioni

Preso ad arbitrio S, definiamo

Cioè G è l'insieme delle applicazioni bi-iettive di S su stesso. Segue manifestamente

ovvero G è chiuso rispetto al prodotto di applicazioni. È facile persuadersi che sono verificate le seguenti proprietà:

1. Proprietà associativa
   Già stabilita in precedenza
   
2. Esistenza dell'elemento neutro



3. E sistenza dell'inverso

Tali proprietà conferiscono all'insieme G munito della legge di composizione interna denominata prodotto di applicazioni, la struttura di gruppo.

Definizione
G si chiama gruppo delle applicazioni bi-iettive di S su sé stesso. Se S è costituito da un numero finito di elementi, ovvero è un insieme finito, G si dice gruppo delle sostituzioni.

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