[¯|¯] Applicazione inversa

Comunque prendiamo un'applicazione bi-iettiva f:S->S', è univocamente determinata l'applicazione che associa all'elemento x' di S', l'elemento x di S tale che f(x)=x'. Infatti, l'iniettività implica l'unicità dell'elemento x:

Definizione
Chiamiamo applicazione inversa la predetta applicazione, denotandola con f^-1 e scrivendo:


Proposizione
Comunque prendiamo una biezione f:S'->S, si ha

Dimostrazione

onde

In maniera analoga si dimostra l'altra relazione.

Proposizione
Ipotesi: Per un'assegnata applicazione f:S->S', esiste un'applicazione g:S'->S tale che

Tesi:

1. f è una biezione
2. g=f^-1

Dimostrazione
Iniziamo con il dimostrare che f è bi-iettiva i.e. è suriettiva e iniettiva. Sia

Segue

In virtù dell'arbitrarietà di x' quale elemento di S', si ha

onde la suriettività di f.
Per dimostrare l'iniettività prendiamo

per cui

Cioè f è iniettiva. Per dimostrare il punto 2, consideriamo

Per la proprietà associativa

da cui l'asserto.

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