Definizione
Un sistema dinamico autonomo
è lineare se la funzione f(x) è lineare. Nel caso contrario, il sistema è non lineare.
Per un sistema lineare si ha, quindi
dove α,ß sono costanti reali. Se ß=0 il sistema è lineare ed omogeneo. Se α=ß=0 il sistema si dice banale ed ammette infinite soluzioni.
Si osservi che la definizione di linearità si conserva anche nel caso di non-autonomia. Precisamente, un sistema non-autonomo:
è lineare se la funzione f(t,x) è lineare in x. Cioè, il più generale sistema dinamico non-autonomo lineare è:
con α(t),ß(t) funzioni continue [t0,+oo).
Ritorniamo ai sistemi autonomi lineari:
Come è noto, si cerca un fattore integrante:
per cui
Cioè
Integrando primo e secondo membro, otteniamo l'integrale generale:
dove C è una costante di integrazione.
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