Esercizio
Una donna isterica al volante della propria auto, pigiando sull'acceleratore esclama: «Esiste almeno un istante di tempo in cui la velocità istantanea è uguale alla velocità media!»
Dimostrare o confutare l'asserzione della donna.
Soluzione
L'asserzione è vera, in quanto è una conseguenza del teorema di Lagrange. Assumendo come sistema di riferimento un asse x orientato nella direzione del moto, se x(t) è la funzione che definisce l'equazione oraria dell'auto della donna, si ha che tale funzione è continua in ogni intervallo limitato [t1,t2] ed è ivi derivabile. Per il predetto teorema:
Il primo membro di tale equazione è la velocità media, mentre il secondo membro è la velocità istantanea al tempo τ, onde l'asserto della donna.
Il teorema di Lagrange esibisce una evidente interpretazione geometrica: esiste almeno un punto P*(τ,x(τ)) del diagramma orario in cui la retta tangente è parallela alla retta secante per i punti A(t1,x(t1)) e B(t2,x(t2)), come mostrato in figura:
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