[¯|¯] Dimensione del sottospazio delle matrici a traccia nulla

Denotiamo con M_R(n,n) lo spazio vettoriale (sul campo reale) delle matrici quadrate di ordine n. Se T_R(n) è il sottospazio delle matrici a traccia nulla, dimostrare che dimT_R(n)=n²-1.
Soluzione
Nell'esercizio abbiamo stabilito che T_R(2) è un sottospazio vettoriale 3-dimensionale di M_R(2,2). Segue che T_R(n) è un sottospazio di M_R(n,n) per ogni intero naturale n. Per determinarne la dimensione, osserviamo che

cosicché il numero di parametri liberi è

dove il termine n-1 conteggia gli elementi a₁₁, a₂₂,...,a_n-1,n-1, mentre n²-n enumera gli elementi fuori diagonale. D'altra parte il numero di parametri liberi è la dimensione di T_R(n), onde

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