[¯|¯] Moto su un piano inclinato liscio

---

Un punto materiale di massa m, posto ad un'altezza h dal suolo si muove partendo da fermo, lungo un piano inclinato privo di attrito e formante un angolo a con l'orizzontale (cfr. fig. 1).
Si dimostri che la velocità con cui il punto arriva alla base del piano inclinato dipende solo da h.

Soluzione

Fissiamo un riferimento cartesiano come in fig. 1, dove l'origine è la posizione iniziale (a t=0) del punto materiale, la cui forza peso ha la seguente rappresentazione cartesiana:

essendo i e j i versori degli assi coordinati. La reazione vincolare R_N è equilibrata dalla componente di mg nella direzione dell'asse y:

Per la seconda legge di Newton

Cioè

da cui l'unica equazione scalare (i.e. il moto è unidimensionale):

equivalente a

Dalla fig. 1:

dove d è l'ascissa della base A del piano inclinato i.e. la distanza totale percorsa dal punto. Quindi

Integrando rispetto al tempo otteniamo la velocità scalare

dove C1 è una costante di integrazione. Integrando nuovamente otteniamo l'equazione oraria del moto

con la nuova costante di integrazione. Deve essere v(0)=0 e x(0)=0 giacché il punto parte da fermo dall'origine. Segue

Cioè il punto si muove lungo l'asse x di moto uniformemente accelerato. Se t₁ è l'istante di arrivo alla base A del piano inclinato, si ha

da cui scartando la radice negativa in quanto priva di significato fisico, si ha:

Ne consegue la velocità quando il punto giunge in A:

che è indipendente sia dalla massa m che dall'angolo α.