Fig. 1. Diagramma orario dell'oscillatore di Langevin che si muove in un fluido caratterizzato da una costante di tempo τ=1 sec.
A questo punto ci possiamo "divertire", ad esempio generalizzando l'equazione di Langevin che descrive il moto di una particella browniana. Supponiamo che tale particella sia soggetta oltre alla forza viscosa.
dove ß è la mobilità, a una forza di richiamo elastica
essendo k la costante elastica. In tal caso l'equazione differenziale del moto è
Qui ω=sqrt(k/m) è la pulsazione mentre τ=ßm è la costante di tempo della forza viscosa. Al solito, α(t) descrive la dinamica degli urti particella-molecole del fluido.
Implementiamo tale variabile nell'ambiente Mathematica interpolando una variabile aleatoria del tipo white noise, per poi integrare la corrispondente equazione differenziale per assegnate condizioni iniziali. Assumendo come parametro libero la costante di tempo si scopre che se la forza viscosa è trascurabile (τ->+oo) le oscillazioni non mostrano un carattere aleatorio come mostrato nel grafico
Nel limite opposto, cioè per bassi valori di τ (quindi forza viscosa non trascurabile) il moto esibisce un comportamento aleatorio, come vediamo dal grafico di fig. 1.