Per un'esposizione divulgativa c'è questo video.
Nel campo reale la funzione logaritmo integrale è definita da
L'estremo inferiore di integrazione x=0 non dà problemi perchè la funzione integranda ha ivi una discontinuità eliminabile:
Nella seguente figura riportiamo il grafico della funzione integranda, da cui vediamo che ha derivata infinita per t?0?. Per un assegnato x, la funzione li(x) restituisce l'area del rettangoloide relativo alla funzione 1/ln t e di base [0,x] come illustrato nella figura a seguire.
La funzione logaritmo integrale è interessante perché permette di eseguire una stima del numero di primi in [0,x]. Più precisamente, ricordiamo che la distribuzione dei primi è data dalla p(x) che allo stato attuale delle conoscenze, è ignota (nel senso che non si conosce la sua espressione analitica). Tale funzione è di libreria per molti software del tipo Mathematica. Ad esempio per x in [0,9], Mathematica restituisce il grafico
da cui notiamo le discontinuità di prima specie per x=pn essendo pn l'n-esimo primo. Espandendo l'intervallo di definizione si ha il grafico di figura
Un'ulteriore espansione quasi costringe la funzione p(x) ad assumere un comportamento continuo nel senso che non sono più visibili «a occhio» le discontinuità
Una stima molto rozza di π(x) è data da
da come risulta confrontando i grafici di figura:
Gauss trovò come migliore approssimazione della p(x), proprio la funzione logaritmo integrale. La migliore approssimazione non è apprezzabile a breve range, come vediamo dal grafico:
ma lo è a largo range
A sua volta, Riemann fornì una stima migliore con la seguente funzione:
dove µ(n) è la funzione di Möbius, così definita:
Ci si può svincolare dalla funzione di Möbius e dalla logaritmo-integrale, utilizzando un'espressione equivalente nota come serie di Gram:
dove ζ è la funzione zeta di Riemann. In fig. 1 plottiamo animatamente π(x) confrontata con la somma parziale di ordine 100 della serie di Gram.
Di seguito un unico plot:
