Teorema della media di Gauss (funzioni armoniche)

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Verificare:

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Soluzione

Enunciamo, ma non dimostriamo un importante teorema, ricordando che per funzione armonica si intende una soluzione dell'equazione di Laplace:

Teorema della media di Gauss
Sia f(x,y) una funzione armonica in un campo connesso A. Comunque prendiamo un dominio circolare C_R(x₀,y₀) di centro (x₀,y₀) e raggio R,riesce:

La funzione

è definita in R²\{(0,0)} ed è ivi armonica. Per il teorema appena enunciato, deve essere ad esempio

dove l'integrale curvilineo è esteso alla circonferenza di raggio unitario centrata in (1,1). Una sua parametrizzazione

mentre f(1,1)=p/4. Ne segue immediatamente il risultato di fig. 1.