Esercizio
Si consideri una corda metallica tesa tra due punti A e B avente sezione costante A, densità ? (kg /m³) momento d'inerzia J della sezione nullo, quindi una corda infinitamente flessibile. Si assume che la forza F sia costante lungo la corda e che rimanga invariata durante la vibrazione. Trovare l'equazione che mette in relazione la frequenza fondamentale di vibrazione della corda e le caratteristiche fisiche e geometriche di questa.
Soluzione
Dalla fig. 1 vediamo che per una lunghezza ds della corda si ha ds=rdφ. Sempre per una lunghezza ds possiamo scrivere ds~dx. La risultante delle due forze applicate alle estremità dell'arco ds è una forza perpendicolare alla corda dx e rivolta verso la parte interna dell'arco, sì da formare una forza di richiamo.
Dunque sulla corda grava una forza di richiamo Fdx=Fds=Frdφ cioè
Ricordiamo che 1/r è la curvatura della deformata elastica pari all'angolo φ di rotazione della sezione in esame. Si ricorderà che
dove η=freccia in funzione di x. La forza d'inerzia newtoniana (massa×accelerazione) agente sullo stesso tratto dx vale:
Cioè
essendo
Ricerchiamo un integrale particolare dell'equazione di Eulero che si esprime come prodotto di una funzione della sola x per una funzione della sola t:
dove
Le condizioni sono:
Quindi avremo:
che sostituita nell'equazione di Eulero darà
da cui
