Spettro del corpo nero (Lezione 1)

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Un corpo C (solido o liquido) in equilibrio termodinamico alla temperatura T, emette radiazione elettromagnetica (irraggiamento) che per T non eccessivamente alta è nella banda dell'infrarosso. Sia C matematizzabile attraverso un dominio
dello spazio ordinario R³. L'energia emessa dall'elemento di superficie dσ nel cono di angolo solido dΩ il cui asse forma un angol θ con il versore n della normale esterna alla frontiera di C, nell'unità di tempo e nell'intervallo di frequenze [ν,ν+dν], può essere scritta come:

dove la grandezza non negativa e(ν,T) è ilpotere emissivo di C. Se invece irradiamo il corpo, parte dell'energia incidente viene assorbita, e parte viene riflessa. Definiamo allora il potere assorbitivo:

Qui intendiamo "energia assorbita" relativamente all'intervallo di frequenze [ν,ν+dν], per cui si tratta di una densità spettrale di energia.

Ciò premesso, consideriamo una cavità le lcui pareti sono in equilibrio alla temperatura T. Per quanto precede, le pareti emettono energia elettromagnetica; trattandosi di una cavità, tale energia non può "uscire" per cui viene riassorbita dalle pareti, fino al raggiungimento di uno stato di equilibrio (emissione=assorbimento). Attraverso considerazioni termodinamiche si può dimostrare che in tali condizioni la densità spettrale di energia è una funzione universale u(ν,T), nel senso che non dipende dal punto in cui si determina il campo elettromagnetico né dalla direzione di propagazione del campo medesimo. In altri termini, all'equilibrio il campo all'interno della cavità è omogeneo ed isotropo. Fissiamo, ora, la nostra attenzione alle pareti della cavità (fig. 1). Preso ad arbitrio l'elemento di superficie ds della parete della cavità, denotiamo con n il versore della normale interna. L'energia che si propaga nell'unità di tempo nel cono di angolo solido dΩ e di frequenza in [ν,ν+dν] è

dove c è la velocità della luce. Parte di tale energia viene assorbita dal predetto elemento di superficie. Precisamente:

D'altra pare, l'energia emessa da dσ, nell'unità di tempo e nello stesso dν è

Alll'equilibrio le predette grandezze devono essere uguali, per cui

Nel caso particolare di un corpo nero:

Ne segue che la densità spettrale di energia all'interno di una cavità le cui pareti siano mantenute alla temperatura T, è a meno di unua costante moltiplicativa, il potere emissivo del corpo nero. In altri termini, se riusciamo a determinare il potere emissivo del corpo nero, veniamo a conoscenza della funzione universale u(ν,T).