In questo paper cercheremo di prolungare il prodotto di Eulero della funzione ζ(s) nel semipiano Re(s)>1/2 escluso il polo s=1
Partiamo dal fatto che
sono due serie doppie uniformemente e assolutamente convergenti su Re(s)>1
Posso definire:
dove logζ(s) è il logaritmo del prodotto di Eulero ζ(rs) è la serie di Diriclet della funzione zeta di variabile rs
Introducendo la formula di sommazione per il primo termine della serie abbiamo
La serie a secondo membro converge uniformemente a una funzione olomorfa per ζ(s)≠0 se Re(s)>1/2 s≠1. Inoltre:
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