[¯|¯] L'atomo di Thomas-Fermi ha estensione infinita

Più precisamente, dividiamo la regione r=0 nelle due regioni I e II come indicato in fig.

Denotiamo con φ_I(r) la soluzione nella regione I, cioè dell'equazione

e con φ_II(r) la soluzione nella regione II, ossia dell'equazione

Le condizioni di raccordo impongono la continuità in r=R della funzione φ(r) e della derivata prima:

Prima di esplicitare le condizioni di raccordo, consideriamo il caso dell'atomo ionizzato positivamente. Precisamente, atomo ionizzato positivamente z volte, per cui la carica elettrica totale è Q=+ze. All'esterno dell'atomo (r>R) il potenziale del campo elettrostatico è

Quindi nel caso dell'atomo ionizzato è

cosicché le condizioni di raccordo si scrivono

dove per semplicità abbiamo omesso il pedice. Ritornando all'atomo neutro (z=0), si ha

A questo punto rammentiamo l'espressione del laplaciano in coordinate sferiche, tenendo poi presente che il potenziale è puramente radiale:

per cui l'equazione di Thomas-Fermi nella regione I si scrive:

Esplicitiamo la derivata seconda a primo membro, sul bordo R:

Derivando k volte

Cioè la funzione φ(r)=0 ha in r=R derivate nulle di ordine comunque elevato. Assumendo che tale funzione sia analitica, necessariamente è R=+oo, giacché nel caso contrario, non potrebbe essere sviluppata in serie di Taylor in un intorno di r=R. Ne consegue che nel modello di Thomas - Fermi, l'atomo neutro si estende all'infinito.