[¯|¯] Esercizi dal Demidovic (incremento della funzione esponenziale di base 2)

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Risolviamo alcuni esercizi proposti nel Demidovic.
Esercizio 716
Mostrare che per Δx->0 l'incremento della funzione f(x)=2^x, corrispondente all'incremento Δx di x per ogni x, è equivalente all'espressione 2^xln2Δx.

L'incremento della funzione è

Ne consegue

in virtù del limite fondamentale:

da cui il risultato. D'altra parte, per una nota proprietà:

dove ω(Δx) è un infinitesimo di ordine superiore a Δx, mentre



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è il differenziale di f, che si identifica con la parte principale di Δf, nel senso che df e Δf sono infinitesimi equivalenti, per Δx->0. In fig. 1 l'interpretazione geometrica dell'esercizio.