[¯|¯] Spazi propriamente euclidei e spazi pseudoeuclidei

Premettiamo alcune nozioni. Sia E uno spazio vettoriale in cui è definito un prodotto scalare. Se

è una qualunque base di E, si ha

Segue

dove il secondo membro scaturisce dalla proprietà di bilinearità del prodotto scalare.









Definiamo la matrice:

Quindi otteniamo la cosiddetta espressione analitica del prodotto scalare:

Per la proprietà 4 del prodotto scalare

Per il principio di identità dei polinomi, ciò implica

ovvero

che è un sistema lineare omogeneo nelle incognite v₁,...,v_n. Per quanto precede, tale sistema deve ammettere la sola soluzione banale. Per una nota proprietà

essendo g il determinante

L'introduzione di un prodotto scalare permette di estendere la nozione di ortogonalità ben nota nello spazio ordinario. Per un qualunque spazio vettoriale E munito di prodotto scalare, con ovvio significato dei simboli si ha:

Inoltre la grandezza

si dice quadrato del vettore u.
Ciò premesso, sussistono le seguenti definizioni:

Definizione
Un prodotto scalare è definito positivo se in luogo della proprietà 4 precedentemente richiamata, si ha

Riesce

cioè abbiamo una forma quadratica definita positiva.

Definizione
Uno spazio vettoriale E munito di un prodotto scalare positivo si dice propriamente euclideo. Nel caso contrario, diremo che E è uno spazio vettoriale pseudoeuclideo

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