Un trasmettitore T emette ultrasuoni sotto forma di pacchetti d'onda piana longitudinale. Assumiamo come sistema di riferimento una terna di assi cartesiani con origine in T e asse x orientato verso un bersaglio B, che per ora consideriamo fermo rispetto al predetto sistema di riferimento, come illustrato nella seguente figura:
La funzione d'onda di singolo pacchetto può essere scritta come
dove k è il vettore di propagazione:
essendo λ la lunghezza d'onda e n il versore della direzione orientata di propagazione. Per come abbiamo scelto il sistema di riferimento:
onde
La grandezza ω(k) è, invece, la pulsazione in funzione del numero d'onde k=|k|. Come è noto dalla teoria della propagazione ondosa, tale funzione descrive il fenomeno della dispersione. Più specificatamente, se ω(k) è una costante o al più lineare in k, non c'è dispersione e il pacchetto conserva il profilo iniziale. Per semplicità consideriamo il caso particolare:
Cioè la dipendenza temporale della ψ(x,t) è un'oscillazione sinusoidale di durata τ. In particolare nel punto (0,0,0) i.e. nel punto di trasmissione:
Per una frequenza ν0=21kHz
Per la durata di singolo impulso assumiamo τ=3.88×10^-3 s . L'andamento di f(t) è plottato in figura:
Calcolando la trasformata di Fourier della funzione f(t) otteniamo
Come è noto dall'Analisi di Fourier, tale funzione esprime la densità spettrale della f(t), ovvero definisce l'ampiezza delle componenti monocromatica di pulsazione compresa tra ω e ω+dω. In figura riportiamo la densità spettrale con i dati numerici visti sopra.
La "larghezza" della g(ω) è controllata dalla durata τ del segnale. Più precisamente, al crescere di τ, g(ω) diviene più piccata intorno a ω0, per cui il contributo proveniente dalle componenti di Fourier con ω diverso da ω0 diviene progressivamente più trascurabile. Viceversa, al diminuire progressivo di t vediamo che g(ω) tende ad "allargarsi". Ciò significa che le componenti di Fourier di pulsazione ω=ω0 assumono un'ampiezza non trascurabile. In generale, la larghezza di g(ω) è l'ampiezza dell'intervallo
Cioè
Passando alle frequenze:
che definisce la banda delle frequenze di trasmissione. Per τ=3.88×10^-3 s:
In altri termini, gli ultrasuoni del pacchetto d'onde trasmesso hanno frequenze variabili nel range ν1÷ν2, dove
come illustrato in figura:
Un generico pacchetto d'onde colpisce il bersaglio B, per essere riflesso verso T, e supponiamo che quest'ultimo sia equipaggiato con un sistema di ricezione in grado di rivelare il segnale riflesso. Facciamo ora la seguente ipotesi semplificativa:
- La propagazione del segnale riflesso avviene per onde sferiche. Più precisamente, avviene isotropicamente nel semispazio di appartenenza del pacchetto incidente.
A questo punto, cerchiamo di eseguire una stima della sensibilità dell'apparato ricevente, in modo da poter determinare la massima portata del device. Denotiamo con E1 l'energia del pacchetto incidente, e con E2 l'energia del pacchetto riflesso nell'istante in cui interagisce con l'apparato ricevitore. A causa dell'attenuazione, ci aspettiamo che
Abbiamo
essendo ε un parametro adimensionale che definisce il minimo valore dell'energia che può essere misurato. Poniamo
onde
Viceversa, se risulta
l'impulso riflesso non viene osservato. Il numero reale positivo µ (adimensionale) si chiama sensibilità del ricevitore.
Se S è la superficie del ricevitore, dal momento che la propagazione dei pacchetti riflessi avviene per onde sferiche, si ha
dove s è la superficie della semisfera di raggio r (ascissa di B) e di centro B:
Tale grandezza definisce la massima distanza, nel senso che un bersaglio B può essere intercettato solo se dista da T di r<=rmax. Se r > rmax riesce E2 < e-2µE1 per cui B non viene intercettato. Si noti che la massima distanza è una funzione esponenzialmente crescente della sensibilità dell'apparato. Ad rmax corrisponde un tempo di percorrenza tra andata e ritorno, pari a
dove c è la velocità del suono nel mezzo considerato. I singoli pacchetti d'onda dovranno quindi essere trasmessi a intervalli di tempo
affinchè sia possibile rivelare il pacchetto di ritorno, prima che venga trasmesso quello successivo. Ad esempio, se S=200cm² e µ=7.48:
Assumendo c=334m /s
per cui i singoli pacchetti possono essere trasmessi a intervalli di tempo dell'ordine di 1s .
Consideriamo ora il bersaglio mobile lungo l'asse x con velocità v. Lo spostamento Doppler della frequenza della generica componente monocromatica del pacchetto riflesso è
Cioè
dove v>0 se B si avvicina. Risolvendo rispetto a v:
Ricordiamo che
con δν?=2/τ. Segue
onde
che ci consente di determinare la velocità v attraverso la misura di Δν a patto che sia Δν»δν. Quest'ultima condizione ci consente di ricavare una velocità minima:
ovvero
