Per quanto visto in una lezione precedente, i numeri complessi sono stati introdotti per poter dare significato alla radice quadrata di un numero negativo. Più in generale, la seguente equazione algebrica di grado n:
è priva di soluzioni reali se n è pari. Ci si pone, quindi, il problema di estendere il campo reale R in modo che la predetta equazione abbia soluzioni per qualunque n. A tale scopo focalizziamo la nostra attenzione su R², rammentando velocemente quest'ultimo è l'insieme delle coppie ordinate di numeri reali o ciò che è lo stesso, il prodotto cartesiano
ove i singoli elementi sono le coppie ordinate di numeri reali. Con tale denominazione intendiamo:
In altri termini, la coppia ordinata (x,y) è distinta dalla coppia (y,x) a meno che non sia x=y. Quindi:
Per munire R² di un'appropriata struttura algebrica che sia in grado di risolvere il problema proposto, introduciamo le seguenti leggi di composizione interna:
La prima si dice addizione di numeri complessi ed è definita da:
La seconda si dice moltiplicazione di numeri complessi ed è definita da:
Verifichiamo che le predette leggi di composizione soddisfano tutte e sole le proprietà affinché R² sia un campo. Iniziamo con l'addizione:
-
Proprietà commutativa
-
Proprietà associativa
-
Esistenza dell'elemento neutro
-
Esistenza dell'opposto
Passiamo alla moltiplicazione:
-
Proprietà commutativa
-
Proprietà associativa
-
Proprietà distributiva rispetto all'addizione
-
Elemento neutro
Tali proprietà implicano che l'introduzione delle leggi di composizione di addizione e di moltiplicazione, conferiscono a R² la struttura di campo.
Definizione
Il campo R² si dice campo complesso e si indica con C. Gli elementi di C diconsi numeri complessi.
Segue la seguente proposizione:
Proposizione
per la cui dimostrazione rimandiamo a dispensa in pdf.
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