Sistema del laboratorio e sistema del centro di massa (urto elastico)

giovedì, Marzo 4th, 2021

sistema del laboratorio,sistema del centro di massa,urto elastico — **Fig. 1**

In molti casi riesce utile studiare la dinamica di un processo d'urto nel sistema di riferimento in cui il centro di massa è in quiete. Tale sistema è inerziale giacché il centro di massa si muove di moto rettilineo ed uniforme. Consideriamo dapprima il caso di un urto elastico unidimensionale. In particolare, abbiamo due palline di massa m1 e m2=2m1; quest'ultima è ferma mentre la prima avanza verso la seconda con velocità v1. Quindi possiamo calcolare le velocità delle singole palline subito dopo l'urto, utilizzando le formule trovate in precedenza:

Ne segue che a causa dell'urto la pallina 1 inverte il proprio moto muovendosi con velocità pari a 1/3 della velocità prima dell'urto. La pallina 2, invece, parte con velocità pari ai 2/3 della velocità di 1. Se x₁⁽⁰⁾ e x₂⁽⁰⁾ sono le ascisse iniziali di singola pallina, l'ascissa iniziale del centro di massa C è

Supponendo che la pallina 1 inizi a muoversi in un istante iniziale t0=0 rispetto al sistema di riferimento K0 legato al laboratorio, il centro di massa inizierà a muoversi nel medesimo istante con velocità

È istruttivo studiare la dinamica dell'urto attraverso un diagramma spazio-temporale che rappresenti il moto di tre punti (palline e centro di massa) illustrato in fig. 1 (in alto), in cui vediamo che il centro di massa continua indisturbato il proprio moto rettilineo uniforme. Infatti, la velocità dopo l'urto è

Studiamo ora la dinamica dell'urto nel sistema di riferimento Kc in cui il centro di massa è in quiete. Per la pallina 1 prima dell'urto, per il principio dei moti relativi si ha:

dove l'apice denota la velocità relativa (cioè, rispetto a Kc). Ne segue

Per la pallina 2

Quindi un osservatore fermo in Kc vede avanzare entrambe le palline, la prima con velocità i 2/3 della velocità rispetto al laboratorio, mentre la seconda con velocità pari a 1/3 della velocità rispetto al laboratorio della medesima pallina. Dopo l'urto:

a cui corrisponde il diagramma spazio-temporale di fig. 1.

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Classificazione degli urti

lunedì, Marzo 1st, 2021

urto elastico,urto anelastico,urto completamente anelastico,urto normale centrale — **Fig. 1**

Urti elastici; urti anelastici; urti completamente anelastici

Un urto si dice elastico se conserva l'energia meccanica E=T+V del sistema costituito dai corpi collidenti. Siccome l'energia poteneziale V determina le forze esterne che per quanto detto in precedenza, possono essere trascurate, ci si riferisce esclusivamente alla conservazione dell'energia cinetica. Viceversa, un urto che non conserva l'energia cinetica, si dice anelastico. In questo caso parte dell'energia cinetica viene convertita in altre forme di energia.
Un urto si dice completamente anelastico se i corpi collidenti procedono come un tutt'uno dopo l'urto. Si badi che ciò non implica una totale conversione dell'energia cinetica in energia di altra forma. La configurazione finale è univocamente determinata dalla conservazione della quantità di moto.

Sistema di riferimento del laboratorio. Sistema di riferimento del centro di massa

Nello studio di un processo d'urto è implicita l'istituzione di un opportuno sistema di riferimento inerziale. Solitamente, ci si riferisce a una terna legata al laboratorio che con buona approssimazione, è un sistema inerziale. Tuttavia, siccome le forze esterne sono trascurabili, ne segue che il centro di massa del sistema costituito dai corpi collidenti compie un moto rettilineo ed uniforme. Quindi potrebbe essere utile riferirsi a una terna inerziale in cui il centro di massa è in quiete.

Urto normale centrale

È il caso ideale di un urto tra due sfere lisce e non rotanti su se stesse. Le sfere si avvicinano lungo la retta congiugente i centri delle sfere, con velocità assegnate. In queste condizioni ci aspettiamo che la forza interna scambiata nell'urto sia diretta lungo la predetta congiungente. Ne segue una dinamica unidimensionale. Orientiamo, quindi, un asse x per il centro delle due sfere (fig. 1) di massa m1 e m2 rispettivamente. Denotiamo con caratteri minuscoli le grandezze cinematiche prima dell'urto, e con caratteri maiuscolo le medesime grandezze dopo l'urto.
Il principio di conservazione della quantità di moto implica:

Proiettando sull'asse x

con l'avvertenza che i moduli delle singole grandezze vettoriali vanno presi con il segno. Segue

Se l'urto è elastico:

Cioè

Dividendo membro a membro le equazioni scritte sopra

o ciò che è lo stesso

Ne segue che l'urto elastico conserva il modulo della velocità relativa. Le velocità dopo l'urto sono le soluzioni del sistema di equazioni lineari:

Risolvendo

Esaminiamo alcuni casi particolari.
a) m1=m2

Cioè se le sfere hanno la stessa massa, si scambiano le velocità.
b) Una delle sfere è ferma, ad esempio la seconda: v2=0

Se in particolare m1=m2 allora V1=0,V2=v1. Cioè la sfera urtante si ferma mentre la sfera urtata inizia a muoveri con la velocità della sfera urtante. Ciò si verifica, ad esempio, con le biglie di un biliardo.
Se m2 è molto più grande di m1 allora V1 è circa pari a v1,mentre V2=0. Vedremo in seguito che tale processo d'urto è noto come riflessione meccanica. Si pensi, ad esempio, a una palla da tennis che rimbalza su una parete o a una molecola di un gas che urta le pareti del recipiente.
Viceversa, se m1 è molto più grande di m2 allora V1=v1,V2=2v1. In tal caso la particella massiva conserva la propria velocità, mentre la particella leggera viene lanciata a velocità doppia. Si pensi al gioco delle bocce, quando una boccia colpisce il boccino fermo.

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