» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

Discontinuità delle derivate

Come complemento all' esercizio precedente, proponiamo il test illustrato in figura. Il risultato esibisce una notevole interpretazione geometrica. Infatti:

• non sempre è possibile tracciare il grafico di una funzione (con carta e penna, per intenderci). La funzione sin(1/x) ne è un chiaro esempio: in ogni intorno di x=0 compie infinite oscillazioni che non si smorzano.
• Argomentazione analoga per la retta tangente, definita come posizione limite della retta secante.

Scarica il file pdf aggiornato. La soluzione del test è a pag. 3.

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[¯|¯] La derivata, ovvero il limite del rapporto incrementale

Assegnata una funzione reale di una variabile reale f(x), diremo che tale funzione è derivabile in un punto x₀ del proprio campo di esistenza se e solo se esiste finito il limite del rapporto incrementale:

dove h è l'incremento della variabile indipendente. Per quanto detto, se il rapporto incrementale inteso come funzione della variabile reale h è convergente per h->0, cioè se il limite:

esiste finito, allora diremo che la funzione è derivabile in x₀ e chiamiamo tale limite la derivata di f(x) nel punto x₀.

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