Analisi vettoriale.
Abbiamo visto che il campo elettrico generato da una distribuzione di cariche ρ(x) è
Il calcolo di quest'integrale non è sempre agevole, per cui si ricorre alla cosiddetta legge di Gauss. Consideriamo una carica puntiforme q allocata in un punto P0 di una regione D di volume V. Matematicamente, D è un dominio regolare di R³ per cui la sua frontiera è uan superficie regolare S. In un generico punto P di S si consideri l'elemento di superficie dσ che come è noto può essere «vettorializzato» come dσ=nddσ essendo n il versore della normale esterna a S (tale superficie è orientabile per cui il campo di versori n(P) è univocamente definito. (fig. 1).
Sia E il campo elettrico in P generato da q. Valutiamo il prodotto scalare
essendo θ l'angolo tra E ed n. Il modulo del vettore E si calcola facilmente:
dove r=dist(P0,P) mentre k è la solita costante dipendente dal sistema di unità di misura. Quindi
È comodo invocare l'angolo solido elementare:
onde
Ora non dobbiamo fare altro che integrare su S o ciò che è lo stesso sull'angolo solido totale (4π):
Generalizzando a una distribuzione di cariche di densità ρ(x)
che è la legge di Gauss. Si tratta, dunque, di una rappresentazione integrale del campo elettrico generato da una assegnata distribuzione di carica elettrica. In altri termini, è una formulazione integrale della legge di dell'elettrostatica. Data la sua importanza, discutiamone gli aspetti matematici. Innanzitutto, dall'analisi vettoriale:
Per il teorema della divergenza
Ricordiamo che divE è la divergenza del campo E i.e.
Quindi
In virtù dell'arbitrarietà di D, si ha
che esprime localmente la legge di Gauss. Detto in altro modo, l'equazione trovata è la rappresentazione differenziale della legge di Gauss ed è manifestamente un'equazione differenziale alle derivate parziali