Superfici di rotazione: il toro e il nastro di Möbius

Novembre 19th, 2021 | by Marcello Colozzo |

superfici di rotazione, toro, nastro di möbius — **Fig. 1**

Introduzione

In un riferimento cartesiano ortogonale R(Oxyz) dello spazio euclideo tridimensionale, si consideri un arco di
curva regolare γ contenuto nel semipiano xz con x >= 0 e avente in comune con l'asse z al più i suoi estremi. La più generale rappresentazione parametrica di γ è

con %phi;(u) >= 0. Denotiamo con S la superficie generata dalla rotazione di γ di un angolo 2π intorno all'asse z. Per determinare una rappresentazione parametrica di tale superficie di rotazione, teniamo presente la fig. 1, dove il punto corrente di S è il punto P(x,y,z) «proveniente» dal punto Q. Ne segue che le coordinate di P espresse in funzione del parametro u e dell'angolo di rotazione v compongono una rappresentazione parametrica di S. Dalla citata figura ricaviamo:

dove D=[a,b]×[0,2p] è il dominio base della rappresentazione. Si noti che le equazioni scritte sopra non costituiscono una rappresentazione parametrica regolare, in quanto non istituiscono una corrispondenza biunivoca tra i punti del dominio D (nel piano uv) e i punti di S, giacché v=0 e v=2π restituiscono i punti di γ (che si dice curva generatrice o curva meridiana di S). Si badi che ciò non implica la non regolarità di S: esistono rappresentazioni non regolari di luoghi regolari , giacché un luogo geometrico regolare è una classe di equivalenza e come tale ammette infinite rappresentazioni parametriche.

In vista di una ricostruzione in software di una superficie di rotazione, è preferibile giungere a una rappresentazione parametrica di quest'ultima utilizzando il formalismo delle matrici di rotazione.Per essere più precisi, la rotazione attorno all'asse z di un angolo v, è realizzata dalla seguente matrice (ortogonale):s

Rappresentiamo il punto iniziale Q di γ, con il vettore colonna:

Ne segue che il vettore colonna le cui componenti sono le coordinate cartesiane del punto ruotato di un angolo v, è

Cioè le equazioni ricavate prima.

Il toro

In questo caso la curva generatrice è una circonferenza di centro (α,0,0) e raggio R, con α > R in modo da non avere intersezioni con l'asse z. Una rappresentazione parametrica di tale circonferenza è

Utilizzando le matrici di rotazione:

Quindi una rappresentazione parametrica del toro è

Ad esempio, per α=4 e R=1 otteniamo la superficie plottata in fig.

Il nastro di Möbius

Il nastro di Möbius può essere ottenuto dalla rotazione della circonferenza vista nel numero precedente, facendola ruotare attorno al proprio centro, mentre la rotazione attorno all'asse z avviene a una velocità che è metà di quella determinata dalla matrice di rotazione. La rotazione intorno al proprio centro viene controllata da un parametro s che assume i valori ±1, in modo che il vettore colonna che individua il punto corrente della superficie è