Esame di Scienza delle Costruzioni – Bologna - 1964 | » Esercizi svolti di Matematica e Fisica

Esame di Scienza delle Costruzioni – Bologna - 1964

Novembre 17th, 2021 | by Marcello Colozzo |

scienza delle costruzioni,università di bologna — **Fig. 1**

Esercizi di Scienza delle Costruzioni elaborati dell'ing. Giorgio Bertucelli.

Esercizio

Determinare le condizioni dell'equilibrio elastico della struttura di figura 1.

Soluzione

La struttura è chiaramente isostatatica esternamente e tre volte iperstatica internamente, cioè lo stesso momento d'incastro ripetuto per ciascun vertice del triangolo. Le condizioni di equilibrio esterne sono (fig. 2)

Si immagini adesso di studiare la struttura smembrata nei suoi tre lati.

Ciascuna trave, non più incastrata, bensì incernierata, è sottoposta a sforzo normale e ad un momento d'incastro M che garantisce la conservazione dell"angolo in ogni vertice del triangolo (fig. 3).

La trave AC è un tirante, AB e BC sono puntoni. La trave AC è soggetta a solo sforzo normale ed è soggetta a un allungamento

dove E è il modulo di Young ed A la sezione della trave.

Sui puntoni prendiamo come esempio la trave AB e supponiamo che essa sia caricata di punta e priva di momento d'incastro M_i (fig. 4).

Scriviamo l'equazione differenziale della linea elastica:

Il suo integrale generale è

La sua derivata è

Le condizioni ai limiti sono:

La seconda condizione è verificata se C₁=0 ovvero se la trave rimane rettilinea; oppure se

Osserviamo che non può essere n=0 perché αl_c deve essere non nullo. Quindi la prima soluzione accettabile è n=1. Pertanto αl_c=π. Sostituendo αl scriveremo

che è la forza di Eulero. È facile persuardersi che

cioè l'unica configurazione equilibrata è la trave rettilinea: equilibrio stabile.

Si possono incontrare quattro diverse condizioni di vincolo per il carico di punta. La forza critica F_{cr} assume un valore diverso per ciascuno dei quattro casi rappresentati in fig. 4: