Triangolo, cerchio inscritto e allineamenti

Ottobre 28th, 2021 | by Marcello Colozzo |

triangolo, cerchio inscritto e allineamenti
Fig. 1



Esercizi di Geometria elaborati dell'ing. Giorgio Bertucelli.


Esercizio

Dimostrare che i punti P,Q,R sono allineati (fig. 1).


Soluzione

Dato un triangolo generico ABC siano α,ß,χ gli angoli corrispondenti ai vertici.(fig. 1). Si traccino le bisettrici da ogni vertice, le quali si incontreranno in O. Dal centro O si tracci la perpendicolare ad AB e ad AC. Disegnato il cerchio inscritto si ha FO=GO e AF=AG, pertanto AO è perpendicolare a FG nel punto N. Esaminiamo le bisettrici da B e da C. Si ha con ovvio significato dei simboli:


Poichè l'angolo BOD è supplementare all'angolo BOC, si ha


Ma l'angolo DBO è complementare a BOD, quindi

Poiché


si ha

Gli angoli in F e in D sono retti, quindi il quadrilatero BDFO è ciclico. Si ha


Nel triangolo DFB abbiamo


Poiché AFB è un segmento diritto e

per cui i punti D,F,G risultano allineati. In modo analogo si prova che E,G,F sono allineati. Pertanto D,F,G,E sono allineati.

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