Pendolo doppio (meccanica analitica)

Ottobre 20th, 2021 | by Marcello Colozzo |

Esercizi di Meccanica razionale elaborati dell'ing. Giorgio Bertucelli.

Esercizio

Un pendolo di lunghezza 3l è appeso ad un altro di lunghezza 4l e massa m (fig. fig:pendolo_d). Si dimostri che, per piccole oscillazioni, esiste un punto sul pendolo inferiore che non ha spostamenti orizzontali.

Soluzione
Le coordinate e le velocità delle due masse sono rispettivamente:

La lagrangiana del sistema è

Le equazioni di Lagrange

danno

che per piccole oscillazioni può diventare:

e in modo simile si può scrivere:

Tentiamo le seguenti soluzioni:

Segue

Eseguendo le derivazioni ed ordinando i vari termini, otteniamo il sistema di equazioni lineari omogeneo nelle incognite (θ₁₀,θ₂₀):

che ammette soluzioni non nulle se e solo se:

le cui radici sono:

che quindi danno due modalità di frequenze. Per ricavare le ampiezze sostituiamo le frequenze caratteristiche nel sistema precedente, per poi ottenere dopo qualche passaggio:

Le piccole oscillazioni sono combinazioni lineari delle due modalità di frequenze. Un punto del pendolo inferiore ha ascissa e velocità:

Per non avere spostamenti orizzontali deve essere

Per la modalità ω₁ si ha:

Per la modalità ω₂ si ha:

Quindi non ci sono spostamenti orizzontali. Si conclude dicendo che per piccole oscillazioni di frequenza angolare sqrt(g/l) un punto del pendolo inferiore distante 3l dalla massa superiore non ha spostamenti orizzontali.

Indice degli esercizi

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