» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

Pendoli accoppiati

Ottobre 19th, 2021 | by Marcello Colozzo |

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Esercizi di Meccanica razionale elaborati dell'ing. Giorgio Bertucelli.

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Esercizio

Due pendoli di uguale lunghezza l e ciascuno di massa m, sono accoppiati tramite una molla di costante elastica k e priva di massa (fig. 1). La lunghezza della molla a riposo è pari a d. Quesiti:

a) impostare la lagrangiana secondo coordinate cartesiane;
b) trovare per piccole vibrazioni coordinate e frequenze normali;
c) da una particolare posizione di riposo si supponga, tramite impulso, di muovere verso destra la massa di sinistra ad una velocità v. Determinare il moto del sistema in termini di coordinate normali.

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Soluzione
Quesito a
Le coordinate e le velocità delle due masse sono rispettivamente

La lunghezza della molla è la distanza tra le due masse:

La lagrangiana del sistema è

Quesito b
Dalle equazioni di Lagrange calcoliamo:

che per piccole oscillazioni diventa:

Trascurando il terzo termine:

e in modo simile si otterrà

Così le equazioni del moto per piccole oscillazioni sono:

Posto

le equazioni del moto si riscrivono:

le quali mostrano che (η,ξ) sono le coordinate normali con le corrispondenti frequenze angolari:

Quesito c
Le soluzioni delle equazioni del moto nelle coordinate normali sono:

All'istante iniziale t=0 si ha:

Quindi

Tags: meccanica analitica, pendoli accoppiati

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