Particella vincolata a muoversi sulla superficie interna di un cono

Settembre 13th, 2021 | by Marcello Colozzo |

Esercizi di Meccanica razionale elaborati dell'ing. Giorgio Bertucelli.
Esercizio

Una particella di massa m è costretta a muoversi, senza attrito, sulla superficie interna di un cono (fig. 1).
a) Trovare le condizioni per cui la particella descrive un'orbita circolare.
b) Verificare la stabilità dell'orbita.

Soluzione

In coordinate sferiche (r,θ,φ) le equazioni del moto sono:

Poiché la particella è costretta a muoversi sulla superficie interna del cono, si ha:

Pertanto la prima delle equazioni del moto si scriverà:

Per il moto in un'orbita circolare attorno al suo asse verticale si ha

Con l=l₀ si ha

Essendo

possiamo chiamare

La particella ha una velocità tangenziale v₀ all'orbita

Dunque

che è la condizione iniziale che deve essere soddisfatta da v₀ e da l₀.

Quesito b
Si supponga una piccola perturbazione sulla particella tale che

L'equazione del moto ricavata in precedenza diventa:

Segue

Trascurando i termini di ordine superiore al primo per le quantità

si può scrivere:

ma per conto dell'equazione scritta più sopra il membro di destra si annulla. Dunque:

Non ci sono forze tangenziali agenti sulla particella in moto; pertanto non vi sono momenti torcenti rispetto all'asse verticale e il momento angolare rispetto allo stesso asse è costante: