Treno azionato dalla gravità (es. di Meccanica razionale)
Settembre 10th, 2021 | by Marcello Colozzo |Esercizio
Un tunnel collega in linea retta Parigi (A) con Londra (B) per una lunghezza L=340km . Un treno che si sposti da A a B è azionato soltanto dalla forza di gravità. Trascurando l'attrito si vuole conoscere la velocità massima cui può raggiungere il treno e il tempo richiesto per percorre il tragitto da A a B.
Soluzione
La Terra è immaginata come una sfera la cui superficie costituisce un luogo di riferimento equipotenziale gravitazionale. Il raggio terrestre è R=6366 km . Siano m e M rispettivamente la massa del treno e la massa della Terra. L'energia potenziale gravitazionale al punto x vale
Supposto che il treno parta a velocità nulla, il teorema di conservazione dell'energia meccanica è
energia potenziale al punto A= energia cinetica in x + energia potenziale in x
da cui
dove
è l'accelerazione di gravità in superficie. Dalla fig. 1 ricaviamo
Segue
Cioè
Il tempo richiesto per andare da Parigi a Londra è
Posto x/L=t
Dal Manuale di Matematica leggiamo che
Nel nostro caso è a=-1,b=1,c=0
Quindi