Treno azionato dalla gravità (es. di Meccanica razionale)

Settembre 10th, 2021 | by Marcello Colozzo |

treno azionato dalla gravità,meccanica razionale
Fig. 1

Esercizi di Meccanica razionale elaborati dell'ing. Giorgio Bertucelli.

Esercizio

Un tunnel collega in linea retta Parigi (A) con Londra (B) per una lunghezza L=340km . Un treno che si sposti da A a B è azionato soltanto dalla forza di gravità. Trascurando l'attrito si vuole conoscere la velocità massima cui può raggiungere il treno e il tempo richiesto per percorre il tragitto da A a B.

Soluzione

La Terra è immaginata come una sfera la cui superficie costituisce un luogo di riferimento equipotenziale gravitazionale. Il raggio terrestre è R=6366 km . Siano m e M rispettivamente la massa del treno e la massa della Terra. L'energia potenziale gravitazionale al punto x vale


Supposto che il treno parta a velocità nulla, il teorema di conservazione dell'energia meccanica è

energia potenziale al punto A= energia cinetica in x + energia potenziale in x


da cui

dove

è l'accelerazione di gravità in superficie. Dalla fig. 1 ricaviamo

Segue

Cioè


Il tempo richiesto per andare da Parigi a Londra è

Posto x/L=t

Dal Manuale di Matematica leggiamo che

Nel nostro caso è a=-1,b=1,c=0

Quindi

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