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Costruzione grafica di gruppi armonici - Quadrangolo completo

Maggio 9th, 2021 | by Marcello Colozzo |

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Appunti ed esercizi di Geometria elaborati dell'ing. Giorgio Bertucelli.
Esercizio
Costruzione grafica di gruppi armonici - Quadrangolo completo.

Soluzione

Si dice quadrangolo completo la figura costituita da quattro punti - mai tre di essi allineati - chiamati vertici e dalle sei rette, chiamate lati, che congiungono coppie di vertici (fig. 1).

Dalla Geometria Proiettiva ricordiamo le definizioni di birapporto e di gruppo armonico. Si definisce birapporto o doppio rapporto di X=(x1,x2);Y=(y1,y2);Z=(z1,z2);T=(t1,t2), considerati nell'ordine scritto (XYZT), il punto K=(k1,k2) che si indica con K=(XYZT), così definito:

Se i punti sono indicati con coordinate non omogenee, si ha:

Condizione necessaria e sufficiente per evitare di avere k1=k2=0 è che almeno tre dei quattro punti siano distinti. Se si ha

il rapporto è rapporto semplice. Noto il rapporto k dalla eq. scritta prima ricaviamo il valore del quarto elemento t. Infatti risolvendo in t si ha:

In particolare avremo per

L'importanza del birapporto risiede nel fatto che è un invariante, cioè conserva il suo valore, quando nei suoi elementi si operi una trasformazione proeittiva. Con questa si è passati da (xyzt) a (x'y'z't') e scriveremo:

Vediamo alcune proprietà del birapporto.
Il birapporto di quattro elementi non cambia se si scambiano tra loro due elementi qualsiasi e contemporaneamente si scambiano tra loro gli altri due elementi. Si ha:

Ciò implica che i possibili birapporti distinti che si possono ottenere con i quattro elementi x,y,z,t corrispondono ai sei ordinamenti aventi un dato elemento al primo posto e che si ottengono permutando tra loro i rimanenti tre. Si può verificare che posto k=(xyzt) si ha:

Gruppi armonici
Una quaterna (x,y,z,t) si dice armonica se

Si ha anche che una quaterna di elementi distinti è armonica se

Dalle predette definisioni segue

Ciò mostra che l'armonicità di una quaterna riguarda le coppie (x,y) e (z,t) cioè è indifferente l'ordine degli elementi d una stessa coppia ed è indifferente anche l'ordine con cui si prendono le coppie. Ciò si esprime dicendo che le due coppie si dividono armonicamente. Un elemento si dice anche il coniugato armonico dell'altro elemento della stessa coppia rispetto alla coppia rimanente.

Tags: Geometria proiettiva, gruppi armonici, quadrangolo completo

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