L'equazione d'onda di Klein-Gordon

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Ricordiamo che lo stato quanto-meccanico di una particella nonrelativistica di massa m è una soluzione dell'equazione di equazione di Scrhoedinger che qui scriviamo in forma operatoriale:

dove

è l'operatore hamiltoniano, mentre ψ è la funzione d'onda della particella. Rammentiamo velocemente la rappresentazione dei vari operatori nella base delle coordinate

per cui ritroviamo la ben nota forma dell'equazione di Scrhödinger:

Per scrivere un'equazione d'onda relativistica, prendiamo spunto dalla seguente sostituzione formale:

Qui H è la funzione hamiltoniana della particella. Dalla meccanica relativistica, sappiamo che per una particella libera

onde

ossia

nota come equazione di Klein-Gordon. Si noti che se non ci fosse il terzo termine a primo membro, la K-G sarebbe la equazione di D'Alembert. Un'altra differenza notevole rispetto a quella di Schrödinger è che la K-G è del secondo ordine nella derivata temporale. E ciò presenterà problemi interpretativi
Dopo qualche manipolazione, si giunge all'equazione di continuità per la grandezza

Precisamente

Siamo tentati a chiamare ρ «densità di probabilità», ma la presenza della derivata seconda rispetto al tempo nella K-G porta a una inconsistenza. Precisamente, dal momento che l'equazione del secondo ordine e «somiglia» alla D'Alembert, si ha che un problema di Cauchy è caratterizzato da condizioni iniziali (con ovvio significato dei simboli):

dove le funzioni sono assegnate ad arbitrio. Ciò implica che la grandezza ρ non è definita positiva, per cui non è una densità di probabilità. Una possibile re-interpretazione consiste nel ridefinire:

essendo q la carica elettrica (eventualmente nulla) della particella. Siamo interessati alle soluzioni del tipo onda piana monocromatica che come è noto, sono stati quantistici con valore definito dell'impulso. Senza ledere la generalità, consideriamo il caso unidimensionale:

Cerchiamo soluzioni del tipo

Dopo qualche passaggio

Moltiplicando primo e secondo membro per la costante ridotta di Planck e rammentando la relazione tra pulsazione ed energia, e tra numero d'onde ed impulso, si ha

cioè proprio quello che ci si aspetta. Più precisamente, poniamo

Ne segue che allo stesso autovalore dell'impulso corrispondono due stati con energia diversa:

Precisamente: