Pendolo matematico

Aprile 16th, 2021 | by Marcello Colozzo |

Il pendolo matematico è un punto materiale P di massa m vincolato a muoversi senza attrito, sotto l'azione del proprio peso, su una circonferenza γ contenuta in un piano verticale. Chiamiamo lunghezza del pendolo, il raggio l di γ come illustrato in fig. 1, avendo orientato un asse y verso l'alto.

Istituiamo su γ un sistema di ascisse curvilinee di origine O (punto più basso) con verso positivo assegnato ad arbitrio (come quello nella predetta figura). Denotiamo con γ la misura in radianti dell'angolo, contato positivamente nel verso positivo di s, che il vettore posizione di P (rispetto a O) forma con la verticale discendente passante per Ω. Ne segue

In una generica posizione P, i versori della terna intrinseca sono disposti come in fig.1 (il versore della binormale è perpendicolare al piano contenente γ). L'equazione differenziale del moto è

dove F=mg è la forza peso, mentre R_N è la reazione del vincolo. Dobbiamo scrivere tale equazione vettoriale componente per componente (relativamente alla terna intrinseca):

ove l'ultima equazione si riduce a una identità, giacché la traiettoria è contenuta nel piano τn. Dalla equazione scritta all'inizio (che lega l'ascissa curvilinea all'angolo θ)

onde

da cui vediamo che la reazione vincolare consta di un termine posizionale e di un termine cinetico. La prima è l'equazione che ci interessa. Si tratta di un'equazione differenziale del secondo ordine nonlineare, e l'integrale generale non è elementarmente esprimibile. In Fisica 1 abbiamo visto che nel limite delle piccole oscillazioni, le soluzioni si comportano come quelle dell'equazione di un oscillatore armonico di pulsazione

per cui il periodo è

Vedremo più avanti che l'equazione del moto si integra ricorrendo ad alcune funzioni speciali della fisica matematica. Per ora osserviamo, che un integrale particolare è univocamente determinato da una condizione iniziale del tipo

Si osservi che se θ₀=kπ, la soluzione è

Infatti tale condizione iniziale corrisponde ai punti Ω (se k è pari) e Ω' (se k è dispari). Si noti che tali punti sono posizioni di equilibrio.
Dal momento che il sistema in istudio è manifestamente conservativo (tale è il campo di gravità), vediamo di scrivere l'integrale primo dell'energia. Dalla fig. 1