La funzione di Lambert e il diodo a giunzione

Luglio 4th, 2020 | by Marcello Colozzo |

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Sia f:X -> R una funzione reale di una variabile reale, definita in un sottoinsieme X di R. Come è noto, se f è invertibile per determinarne l'inversa, dobbiamo risolvere l'equazione

rispetto alla variabile x, ottenendo

Ciò premesso, la funzione di Lambert nel campo reale è l'inversa della funzione

Come è ben spiegato in questo video tale funzione (definita in (-oo,+oo)) non è invertibile in quanto non è monotona. In fig. 1 ripotiamo il grafico di f(x), da cui risulta evidente che la funzione è strettamente decrescente in (-oo,-1) e strettamente crescente in [-1,+oo). Tale comportamento suggerisce di considerare la restrizione della predetta funzione all'intervallo [-1,+oo), per poi determinare l'inversa di tale restrizione, che è proprio la funzione di Lambert nel campo reale.

Per quanto precede, dobbiamo risolvere l'equazione

rispetto a x, ove quest'ultima appartiene all'intervallo [-1,+oo). Da ciò segue che la funzione di Lambert non è elementarmente esprimibile, giacché l'equazione scritta sopra non può essere risolta analiticamente. Può comunque essere risolta numericamente, assumendo y come parametro libero. Per tracciarne il grafico si esegue una interpolazione polinomiale con Mathematica Tuttavia, se forziamo la soluzione utilizzando l'istruzione Solve[] (siamo quindi, in modalità simbolica e non numerica), Mathematica restituisce la funzione ProductLog. Si tratta di una funzione built-in che è proprio la Lambert W, il cui grafico è riportato in fig. 2 ove abbiamo rinominato la variabile indipendente y in x (operazione lecita in quanto variabili mute).

Come specificato in precedenza, per maggiori dettagli suggeriamo questo video:

Il caso del diodo a giunzione

La funzione di Lambert trova un'interessante applicazione a un circuito elettrico costituito da un diodo a giunzione in serie ad un carico resistivo R (fig. 3). La serie è sottoposta a una d.d.p. V (che può essere costante o variabile nel tempo).

Applicando il secondo principio di Kirchhoff si perviene alla seguente equazione:

dove i è l'intensità di corrente che circola nella serie. Specifichiamo le altre grandezze: 1) i₀ è la
corrente di saturazione inversa ed è dell'ordine dei µA; η è un coefficiente adimensionale che vale 1 per il germanio, 2 per il silicio; V_T è una grandezza con le dimensioni di una d.d.p (equivalente in volt della temperatura):

Si noti che il comportamento del diodo è atipico, nel senso che il predetto principio di Kirchhoff non restituisce un'equazione differenziale in i(t) come nel caso di un circuito RL o di un circuito RC, ma un'equazione trascendente rispetto a i. Per risolvere tale equazione è preferibile adimensionalizziamo la corrente, eseguendo il cambio di variabile:

Ne segue

Prima di tentare una risoluzione, osserviamo che tale equazione richiama quest'altra:

che per quanto precede, definisce la funzione di Lambert nel campo reale. Infatti, prendendo il logaritmo di ambo i membri:

Ne consegue che l'intensità di corrente che circola nel circuito di fig. 3 è esprimibile attraverso la funzione di Lambert. Più precisamente, assumendo i seguenti valori (diodo al germanio):