Momento polare di un vettore applicato (Meccanica razionale)

Maggio 14th, 2020 | by Marcello Colozzo |

Abbiamo già definito in precedenza la nozione di vettore applicato. Tuttavia è necessario rendere più rigorose tali definizioni. Precisamente
Definzione
Dicesi vettore applicatol'insieme costituito da un vettore assegnato non nullo e da un punto dello spazio ordinario R³ (punto di applicazione del vettore).

Come già abbiamo avuto modo di vedere, un vettore (libero ovvero non applicato) è una classe di equivalenza. In termini più intuitivi: è l'elemento che accomuna un insieme di segmenti equipollenti, ciascuno dei quali è un segmento rappresentativo del vettore dato, come è esemplificato dalla seguente figura:

Se invece consideriamo il vettore applicato (A,u) essendo A il punto di applicazione, è chiaro che non possiamo scegliere ad arbitrio il segmento rappresentativo di (A,u). Più precisamente, esiste ed è unico tale segmento e concide con quello uscente da A.

Un qualunque vettore applicato (A,u) individua univocamente la retta r per A e parallela ad u.
Definzione
La retta per A e parallela ad u, essendo (A,u) un qualunque vettore applicato, si chiama retta di applicazione o retta di azione del predetto vettore applicato.

La retta di applicazione di un vettore applicato (A,u) individua oo¹ vettori applicati in punti appartenenti alla retta medesima, e paralleli al vettore assegnato, come vediamo dalla figura

Un qualunque vettore di tale insieme è denotato con (r,u). Ciò premesso, consideriamo un vettore applicato (A,u) e un punto T dello spazio ordinario, come in fig.

Definizione (Momento polare)
Dicesi momento di (A,u) rispetto al polo, la grandezza

Da note proprietà del prodotto vettoriale, segue immediatamente che il modulo del momento polare è

essendo b la distanza del polo T dalla retta di applicazione del vettore assegnato. È consuetudine chiamare braccio tale scalare. Il momento polare è ortogonale al piano individuato da u e da T. Il verso è tale che la terna

risulti levogira.
Proposizione
Assegnata una retta r dello spazio ordinario, un qualunque vettore (r,u) ha lo stesso momento polare rispetto al medesimo polo T.

Dim.

Comunque prendiamo A' su r, si ha:

Ma dalla fig. 1

onde per la proprietà distributiva del prodotto vettoriale e tenendo conto che i vettori A'-A e u sono paralleli:

da cui l'asserto.