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[¯|¯] La genesi del Calcolo tensoriale

In un prossimo video parleremo della "genesi" del Calcolo tensoriale. Solitamente, nei corsi di fisica teorica dedicati alla relatività speciale/generale, enti del tipo "4-vettori, 4-tensori", vengono definiti in base alla legge di trasformazione quando si passa da un sistema di coordinate ad un altro (ciò è fisicamente consistente: si pensi all'invarianza delle leggi fisiche rispetto a un sistema di riferimento inerziale nel caso della relatività speciale, e ad un sistema di riferimento qualsiasi, nel caso della relatività generale).

Tuttavia questo approccio non è esaustivo, nel senso che questi "nuovi oggetti" ricevono il giusto assetto nel paradigma dell'algebra moderna (teoria dei gruppi: le trasformazioni lineari che connettono basi distinte di uno stesso spazio vettoriale E, sono rappresentati da elementi del gruppo lineare di ordine n=dim(E) sul campo K quale sostegno di E), e dell'algebra multilineare che "parla" il linguaggio delle applicazioni multilineari tra spazi vettoriali.
Solo in un secondo tempo è possibile definire campi tensoriali su una varietà differenziabile.

In sostanza, è un approccio simile a quello utilizzato per i vettori: questi enti vengono prima definiti nel paradigma dell'algebra lineare, dopodiché si passa alla modalità "analitica" ossia all'implementazione di un'analisi vettoriale. Nel caso dei tensori, l'approccio è più complicato poiché mentre con i vettori siamo in R^n, con i tensori siamo in V^n, essendo quest'ultima una varietà differenziabile n-dimensionale (ad esempio, la varietà differenziabile spaziotempo della relatività generale).

Questo approccio non viene seguito nei corsi di fisica teorica orientati alla relatività generale, in quanto è lungo e faticoso. Noi partiremo da zero ovvero dalle forme lineari che poi porteranno fisiologicamente al concetto di tensore. Vedremo che tutti questi oggetti sembrano davvero astratti e complicati, ma ci viene in aiuto l'algebra delle matrici per comprenderli più a fondo.

Tags: algebra multilineare, calcolo tensoriale, forme lineari