[¯|¯] Moto su traiettoria rettilinea. Diagramma orario. Velocità scalare

Dicembre 12th, 2019 | by Marcello Colozzo |

Nel numero precedente abbiamo introdotto la nozione di equazione oraria per un punto materiale vincolato a muoversi su una curva. Precisamente s=s(t), dove s è l'ascissa curvilinea del punto. Nel caso particolare di una traiettoria rettilinea, dopo aver istituito un sistema di ascisse, l'equazione oraria si riscrive x=x(t) che esprime l'ascissa x in funzione del tempo. Per quanto riguarda l'insieme di definizione della funzione x(t), solitamente si assume l'intervallo [0,+oo). Ciò vuol dire che si prende t₀=0 come istante iniziale del moto. Naturalmente, si tratta di una convenzione per cui si può assumere un t₀ qualunque.
Supponiamo di conoscere l'espressione analitica della funzione x(t). Con i metodi dell'Analisi (studio della funzione siamo in grado di tracciarne il diaagramma cartesiano comunemente noto come grafico della funzione.

Definizione
Chiamiamo diagramma orario Il diagramma cartesiano della funzione x(t) che esprime l'equazione oraria del moto per un punto materiale che si muove su un retta in cui è istituito un sistema di ascisse (sistema di riferimento K(Ox).
Presi ad arbitrio due istanti di tempo t₁ e e t₂ > t₁, possiamo considerare l'intervallo di tempo t₂-t₁; la medesima locuzione può essere utilizzata per denotare nel senso dell'Analisi il seguente insieme:

In alcuni casi si escludono gli estremi, considerando un intervallo aperto:

Segue

cioè le ascisse del punto materiale nei predetti istanti. Consideriamo quindi il rapporto

Nel piano cartesiano in cui è tracciato il diagramma orario Γ (fig. 1), il rapporto precedente altro non è che il coefficiente angolare della retta secante a Γ per i punti (t₁,x₁),(t₂,x₂).
D'altra parte, come è ben noto dall'Analisi, la predetta grandezza (eq:incrementale0) è il rapporto incrementale della funzione x(t).

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Precisamente, poniamo

onde

Fisicamente, tale rapporto misura la rapidità con cui il punto materiale percorre la distanza Δx nell'intervallo di tempo Δt.
Definizione
Chiamiamo velocità scalare media il rapporto incrementale.

Se manteniamo costante l'istante t₁ e riduciamo progressivamente l'istante t₂, vediamo dalla fig. 1 che la retta secante a Γ per i punti (t₁,x₁),(t₂,x₂) ruota attorno al punto (t₁,x₁). Al limite, per t₂->t₁, tale secante tende alla retta tangente a Γ in (t₁,x₁). Dall'Analisi

cioè la derivata della funzione x(t) in t₁. Per un qualunque t in [0,+oo)

È consuetudine utilizzare la notazione puntata:

Definizione
La grandezza appena scritta si chiama velocità scalare istantanea o semplicementevelocità scalare.
Ci siamo riferiti a quantità scalari; in realtà la velocità è una grandezza vettoriale, anche se nel caso di moto su una retta non appare evidente giacché la direzione è costante. Il moto può comunque avere degli istanti di inversione, per cui è necessario riferirsi a vettori. Nello specifico, la velocità vettoriale (istantanea) è il vettore