[¯|¯] L'universo è una rete di spin? (parte prima)

Marzo 6th, 2019 | by Marcello Colozzo |

Nel paradigma della Meccanica quantistica non relativistica, i gradi di libertà di spin sono disaccoppiati dai gradi di libertà orbitali. Infatti, l'operatore hamiltoniano di un sistema quantistico di spin s, può esprimersi nel modo che segue e con ovvio significato dei simboli:

Lo spazio di Hilbert associato al sistema è

Nel caso specifico di una particella di massa m e spin s, sottoposta a un campo conservativo di energia potenziale V(x), si ha:

essendo L²(R³) lo spazio di Hilbert delle funzioni da R³ a C, di modulo quadro sommabile. Ne consegue che in un istante di tempo assegnato (che può essere l'istante iniziale in cui il sistema è preparato in una sovrapposizione lineare di autostati di una qualche osservabile, quale ad esempio, l'energia) la funzione d'onda si fattorizza come segue

dove abbiamo inglobato nel simbolo S, le variabili di spin. Qui ψ(x) è la funzione d'onda dei soli gradi di libertà orbitali, mentre χ(S) e la funzione d'onda di spin. La predetta fattorizzazione permette di tralasciare i gradi di libertà orbitali, in tutte quelle applicazioni basate esclusivamente sui gradi di libertà di spin. Matematicamente, ciò equivale ad eseguire nella (eq:part1) l'operazione di passaggo al limite:

Il termine V(x) sparisce in quanto una particella di massa infinita è priva di gradi di libertà cinetici. Nel paradigma newtoniano, ciò è una conseguenza del principio di inerzia per cui una qualunque forza

produce un'accelerazione nulla su una particella di massa infinita:

Un paio di osservazioni:

L'operazione di passaggio al limite per m->+oo è puramente formale.
Potrebbe apparire sorprendente nominare il paradigma newtoniano. Tuttavia, dobbiamo ricordare che la Meccanica quantistica non relativistica poggia su tale paradigma, almeno per quanto riguarda oggetti del tipo forza, energia potenziale, massa inerziale.

Riassumendo simbolicamente:

dove la freccia indica che abbiamo cancellato il termine orbitale. Tale approccio funziona anche se abbiamo un sistema di N spin, ossia uno spin network:

Gli spin networks di Penrose

L'idea di Penrose consiste non nel non tener conto di L²(R³), ma di asserire che il 3-spazio euclideo R³, "emerge" da uno spin network. In simboli:

Per comprendere come un ente del tipo spin network sia in grado di generare uno spazio euclideo, dobbiamo sbarazzarci della fisicità degli "oggetti" dotati di momento angolare di spin. Siamo, infatti, abituati a pensare ad elettroni, protoni, neutroni (s=1/2). Penrose non lo dice, ma quasi ci obblica a pensare ad oggetti non fisici ovvero astratti e comunque dotati di spin. Ogni oggetto è una n-unità, dove n è un intero naturale tale che

essendo s lo spin della unità considerata. Incidentalmente, Penrose utilizza il simbolo j per denotare lo spin totale. Ma a nostro avviso, tale simbolo genera confusione con il momento angolare totale (spin + orbita), per cui è preferibile utilizzare s. Riassumendo:

Segue

Ma ancora una volta non dobbiamo pensare a particelle, nel senso fisico del termine. La rete più semplice è costituita da due n-unità. Ad esempio, possiamo avere una coppia di due 1-unità che denotiamo con A e B. Quindi A ha spin

Idem per B:

Dalla teoria della composizione del momento angolare, sappiamo che lo spin totale può essere s=0 o s=1. Nel primo caso, abbiamo che la coppia (A,B) è entangled ed è proprio il caso che ci interessa. Rappresentiamo tale stato quantico nel grafo di fig. .

dove 1 denota n=1 e 0 indica n=0.

Un errore comune è di pensare ad A e B immersi in un qualche spazio di background. Ma ciò è sbagliato perché stiamo cercando di far emergere tale spazio dalle interazioni tra gli spin del network. In questo esempio, lo spazio è semplicemente il grafo disegnato. Possiamo aggiungere una seconda coppia di due 1-unità entangled, ad esempio (C,D), come mostrato in fig.

Le 1-unità B e C possono a loro volta combinarsi, ma non deve trarre in inganno la "vicinanza" tra tali unità, giacchè ciò implicherebbe ancora una volta, uno spazio di background (addirittura uno spazio metrico). Gli stati di spin totale per la nuova coppia sono