[¯|¯] Analogie elettromeccaniche (regime lineare)

Marzo 11th, 2017 | by Marcello Colozzo |

seconda legge di newton,equazione del moto,viscosità — **Tabella 1.** more

Consideriamo un punto materiale di massa m che si muove unidimensionalmente in un mezzo viscoso modellizzato da una resistenza dinamica assegnata. Fissato un riferimento cartesiano (Ox) sulla retta, la seconda legge di Newton si scrive:

dove i è il versore dell'asse x, mentre R è il modulo della predetta resistenza dinamica che in regime lineare si scrive:

essendo b>0 il coefficiente di viscosità. Il suo reciproco
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definisce la mobilità del punto materiale nel mezzo viscoso. Con tale posizione l'equazione che esprime la seconda legge di Newton si scrive:
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definisce la mobilità del punto materiale nel mezzo viscoso. Con tale posizione l'equazione che esprime la seconda legge di avendo definito la costante di tempo

che fissa la scala dei tempi della forza viscosa. Possiamo abbassare di una unità l'ordine dell'equazione differenziale del moto, giacchè la derivata prima di x(t) è la velocità scalare del corpuscolo. Quindi

che si integra facilmente per separazione di variabili, ottenendo (dopo aver assegnato la condizione iniziale v(0)=v0):

cioè un transiente che si estingue esponenzialmente. Se il punto materiale è soggetto anche a una forza esterna F(t), l'equazione del moto diventa:

essendo

la forza per unità di massa. In questo caso abbiamo il seguente problema di Cauchy:

la cui soluzione dipende ovviamente dall'espressione analitica della funzione &alpha(t).

Consideriamo ora un circuito elettrico composto da un resistore R che presenta un coefficiente di autoinduzione L.

Circuitalmente ciò equivale a una serie RL. Se il circuito è chiuso e su di esso non insiste alcuna d.d.p, il secondo principio di Kirchoff fornisce:

Qui V_L è la caduta di tensione ai capi di L, mentre V_R è la caduta di tensione ai capi di R. Come è noto:
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dove i è l'intensità di corrente:

essendo q(t) la carica elettrica in funzione del tempo. Segue

da cui vediamo una rimarchevole analogia con l'equazione differenziale vista in precedenza. Infatti, possiamo passare dalla prima alla seconda eseguendo le sostituzioni:

per cui la costante di tempo nel caso elettrico diventa:
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mentre alla mobilità ß corrisponde la conduttanza G=R^-1. Se poi la serie RL è alimentata da una f.e.m. V(t), si ha:
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