[¯|¯] Scala di infiniti di ordine indeterminato

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In questo numero introduciamo la nozione di scala di infiniti.

Per quanto precede, per x->+oo la funzione x*lnx è un infinito di ordine indeterminato. Precisamente, è è un infinito di ordine superiore a 1, ma minore di un qualunque α>1. Consideriamo ora la seguente funzione

Risulta

Al solito, determiniamo l'ordine di infinito assumendo come infinito di riferimento la funzione v(x)=x. Pertanto

Distinguiamo i casi:

1. 0<α<1
2. α=1
   
3. α>1
   Eseguiamo il cambio di variabile t=ln x, per cui
   
   Segue
   
   giacché e^λt è un infinito di ordine infinitamente grande.

Ne consegue che x·lnx·lnlnx è un un infinito (per x->+oo) di ordine superiore a 1, ma minore di un qualunque α>1.

È istruttivo confrontare gli infiniti

Risulta

cosicché x·ln x·lnlnx è di ordine superiore a x·lnx. Lo step successivo consiste nel "costruire" l'infinito:

giungendo ai medesimi risultati precedente. Inoltre:

onde

è di ordine superiore a

L'iterazione del procedimento restituisce la seguente scala di infiniti:

Tale insieme è infinito numerabile e ogni suo elemento è un infinito di ordine superiore al precedente.

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