Fig. 1. Per x->0+ la funzione x*ln(x) è un infinitesimo di ordine inferiore a 1, ma maggiore di un qualunque 0<α<1. Per x->+oo è un infinito di ordine superiore a 1, ma minore di un qualunque α>1.
Rammentiamo che con il simbolo I(x0) denotiamo la classe degli infinitesimi in x0 e non definitivamente nulli intorno a tale punto. Ciò premesso, sussiste la seguente definizione
Definizione
Se u(x) è l'infinitesimo di riferimento nella predetta classe, diremo che l'infinitesimo f non ha un ordine determinato, se il rapporto f(x)/[u(x)]α è regolare per ogni α>0, riuscendo convergente per alcuni valori di α, divergente per i rimanenti.
Esempio
Consideriamo la funzione:
Risulta
onde f(x) è un infinitesimo in x=0. Dal momento che x->0+, assumiamo come infinitesimo di riferimento la funzione:
Quindi
Distinguiamo i casi:
-
0<α<1
onde f(x) è un infinitesimo di ordine superiore ad α per ogni 0<α<1. - α>=1
Cioè f(x) è un infinito di ordine inferiore a 1.
Ne consegue che x*ln(x) è un infinitesimo (in x=0) di ordine inferiore a 1, ma maggiore di un qualunque 0<α<1.
Studiamo ora il comportamento per x->+oo:
onde xln x è un infinito per x->+oo. Determiniamone l'ordine, assumendo come infinito di riferimento la funzione v(x)=x. Ciò implica il calcolo del limite
Distinguiamo i casi:
-
0<α<1
-
α=1
-
α>1
Ne consegue che x*ln(x) è un infinito (per x->+oo) di ordine superiore a 1, ma minore di un qualunque α>1. In fig. 1 riportiamo il grafico della funzione.