[¯|¯] Approssimazione lineare a tratti di una curva piana in cooordinate polari

Dicembre 20th, 2016 | by Marcello Colozzo |

approssimazione lineare,curva piana,coordinate polari, rosa a n foglie

Fig. 1

Il C.A.S. (computer algebra system) Mathematica permette di eseguire una infinità di esperimenti computazionali. In questo post proponiamo una routine che genera un'approssimazione lineare a tratti di una curva piana. Consideriamo il caso particolare di una curva γ la cui equazione è data in coordinate polari:

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essendo r(φ) una funzione assegnata e non negativa in B. Le equazioni che legano le coordinate cartesiane (x,y) alle coordinate polari con polo nell'origine del riferimento cartesiano R(Oxy) e asse polare coincidente con l'asse x, sono:

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ovvero le componenti cartesiane del vettore posizione di un punto del piano di coordinate polari (r,φ)

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essendo i e j i versori degli assi coordinati x,y, come illustrato nella seguente figura:

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Dalle equazioni precedenti otteniamo il vettore posizione di un punto variabile sulla curva γ:

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Costruiamo una spezzata σγ di vertici V0,V1,...,VN. Senza perdita di generalità, supponiamo che γ passi per l'origine, e poniamo V0(x=0,y=0). I rimanenti vertici sono:

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Ciò implica che il k-esimo lato di σγ forma un angolo kd con l'asse x. Consideriamo il caso particolare di una rosa a 4 foglie

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Per d=1,N=10 otteniamo il grafico di fig. 2. Per N=300 otteniamo il grafico di fig. 3.

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Fig. 2. Approssimazione lineare a tratti di una rosa a 4 foglie, attraverso una spezzata di N=10 vertici.

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Fig. 3. Approssimazione lineare a tratti di una rosa a 4 foglie, attraverso una spezzata di N=300 vertici.

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