[¯|¯] Esempi di funzioni suriettive e di funzioni iniettive

Ottobre 1st, 2014 | by extrabyte |
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Di seguito alcuni esempi di funzioni suriettive e di funzioni iniettive.
Esempio 1
Comunque prendiamo un insieme non vuoto X, si chiama applicazione identica su X, l'applicazione:
\begin{equation}
\underset
{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x\longrightarrow
x,\,\,\,\,\forall x\in X}{I_{X}:X\rightarrow X}\label{eq: appl_id_x}%
\end{equation}
Abbiamo già incontrato l'applicazione identica nella Lezione 5, definendola come:
\begin{equation}
\underset
{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x\longrightarrow
x,\,\,\,\,\forall x\in\mathbb{R}}{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}},
\end{equation}
che in tal caso si dice "applicazione identica su \mathbb{R}.

La (\ref{eq: appl_id_x}) è una biiezione, giacchè è manifestamente suriettiva e iniettiva.

Esempio 2
Consideriamo l'applicazione:
\begin{equation}
\underset{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,k\longrightarrow
-k,\,\,\,\,\forall k\in\mathbb{Z}}{f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}%
},\label{eq: f_rel_rel}%
\end{equation}
cioè la legge che a ogni intero relativo k, associa il suo opposto.
Risulta:

h\in\mathbb{Z}\Longrightarrow\exists\left(  -h\right)  \in\mathbb{Z}\mid f\left(  -h\right)  =-\left( -h\right)  =h


Cioè f è suriettiva. Inoltre:

k^{\prime}=k^{\prime\prime}\Longrightarrow-k^{\prime}\not =-k^{\prime\prime<br />
}\Longrightarrow f\left(  k^{\prime}\right)  \not =f\left(  k^{\prime\prime<br />
}\right)  ,


da cui l'iniettività di f. Ne concludiamo che l'applicazione (\ref{eq: f_rel_rel}) è biiettiva.

Esempio 3
Consideriamo l'applicazione:
\begin{equation}
\underset{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,n\longrightarrow
2n+1,\,\,\,\,\forall n\in\mathbb{N}}{f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}}%
\end{equation}
Risulta f\left(  N\right)  \subset N, giacchè è l'insieme dei numeri dispari. Quindi f non è suriettiva.

n^{\prime}\not =n^{\prime\prime}\Longrightarrow f\left(  n^{\prime}\right)\not =f\left(  n^{\prime\prime}\right)


Cioè f è iniettiva.

Esempio 4
Consideriamo l'applicazione:
\begin{equation}
\underset{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x\longrightarrow
x^{2},\,\,\,\,\forall x\in\mathbb{R}}{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}}%
\end{equation}
Risulta:

f\left(  -x\right)  =f\left(  x\right)  =x^{2},\,\,\forall x\in\mathbb{R}%<br />
\diagdown\left\{  0\right\}  ,


per cui f non è iniettiva. Inoltre f\left(  \mathbb{R}\right)  =\left[0,+\infty\right), onde non è suriettiva.

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