In presenza di misure di restrizioni (inclusi i vaccini), abbiamo la classica curva logistica, quale curva integrale del problema di Cauchy implementato in Mathematica:
Si noti che l'ultima riga di codice definisce il valore iniziale per il successivo problema di Cauchy. Di seguito il grafico della soluzione e della derivata prima. Abbiamo, dunque, il classico "picco massimo". Le grandezze sono opportunatamente normalizzate.
La comparsa di nuove varianti distrugge il termine di contenimento, restituendo un'equazione differenziale lineare del primo ordine, che è la classica crescita esponenziale. Precisamente
Il 13 maggio 2021, l'ingegnere Philippe Pradat e la tossicologa Véronique Malard hanno inviato una lettera.
Cercheremo di reinterpretare a modo nostro il modello dei due studiosi francesi. Precisamente, consideriamo un campione statisticamente significativo composto da N individui, classificati in:
vaccinati;
non vaccinati:
contagiati.
Osservazioine
Nel modello di Pradat-Malard sono considerati i decessi anziché i contagi. Probabilmente perché i decessi costituiscono un dato statistico più affidabile. Nel nostro approccio utilizziamo i contagi, giacché si tratta di un modello teorico.
Scriviamo:
essendo
Tali grandezze verificano le condizioni ai limiti:
giacché t0 e t1 sono rispettivamente l'istante iniziale (inizio campagna vaccinazioni) e l'istante finale (termine campagna vaccinazioni). Per t > t0 una parte dei vaccinati si infetta, quindi:
Allo stesso modo per i non vaccinati:
Ne segue che l'equazione scritta più sopra, si riscrive:
avendo definito il numero totale di contagiati al tempo t
Per quanto precede, la grandezza
è il numero di non infetti tra i non vaccinati. Ci aspettiamo:
monotonamente descrente, giacché al trascorrere del tempo diminuisce il numero di non vaccinati e quindi, il numero di non infetti tra i non vaccinati:
Possiamo scrivere:
Derivando primo e secondo membro rispetto al tempo:
Cioè
da cui
Conclusione: se la velocità con cui diminuisce il numero di non infetti non vaccinati in funzione del numero di vaccinati non infetti, è maggiore di uno, il numero totale di contagi aumenta in funzione del tempo.