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[¯|¯] Tensori completamente simmetrici

mercoledì, Marzo 11th, 2020

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Sia T un tensore covariante di rango r ovvero un'applicazione multilineare:

Definizione
Il tensore T si dice completamente simmetrico se la predetta applicazione è invariante rispetto a una qualunque permutazione dei suoi argomenti v1,v2,...,vr.

Tale definizione si generalizza immediatamente ai tensori controvarianti di rango qualsiasi. Inoltre, essa ha carattere intrinseco, ossia indipendente dalla base. Viceversa, il riferimento a una base restituisce la proposizione:
Proposizione
Un tensore r-covariante (o r-controvariante) è completamente simmetrico, se e solo se comunque prendiamo una base dello spazio vettoriale a cui esso appartiene, le sue componenti sono invarianti rispetto a una qualunque permutazione degli indici.

Dim.

Senza perdita di generalità, consideriamo un tensore doppio covariante:


Comunque prendiamo una base {ei} di En, è univocamente determinata la base duale {θj}


e quindi la seguente base di

cioè


cosicché


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[¯|¯] Tensori controvarianti (seconda parte)

lunedì, Giugno 5th, 2017

tensori controvarianti,forme bilineari,prodotto tensoriale


Nel post precedente abbiamo definito i tensori controvarianti di rango 2 quali elementi dello spazio vettoriale dato dal prodotto tensoriale degli spazi vettoriali En e Fm sul medesimo campo K. Per quanto precede, ci aspettiamo che gli elementi di matrice Tik siano le componenti del tensore T in una base del predetto spazio.
Ciò premesso, consideriamo le forme lineari:

tensori controvarianti,forme bilineari,prodotto tensoriale

È chiaro che si tratta di vettori controvarianti e a meno di un isomorfismo naturale, si riconducono ad elementi appartenenti a En e Fn rispettivamente. In ogni caso abbiamo:

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ove σi sono le componenti di σ in una base assegnata di En**. Denotando con {ηi} tale base, si ha:
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D'altra parte, σi sono anche gli elementi di matrice della forma lineare s nella base duale {θi} associata a {ei}, per cui
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