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Sottospazio vettoriale dei tensori completamente simmetrici

mercoledì, Marzo 18th, 2020

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Fig. 1

Assegnato uno spazio vettoriale En e preso ad arbitrio un intero naturale r, consideriamo lo spazio prodotto tensoriale


e quindi, il suo sottoinsieme

i cui elementi sono i tensori r-covarianti completamente simmetrici. Mostriamo che si tratta di un sottospazio vettoriale di En*(r). Infatti:

La chiusura di Sn*(r) rispetto alle leggi di composizione di addizione di moltiplicazione per uno scalare, implica che tale insieme è un sottospazio vettoriale di En*(r). Ovviamente siamo interessati alla dimensione di tale spazio. Intanto osserviamo che


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[¯|¯] Tensori completamente simmetrici

mercoledì, Marzo 11th, 2020

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Sia T un tensore covariante di rango r ovvero un'applicazione multilineare:

Definizione
Il tensore T si dice completamente simmetrico se la predetta applicazione è invariante rispetto a una qualunque permutazione dei suoi argomenti v1,v2,...,vr.

Tale definizione si generalizza immediatamente ai tensori controvarianti di rango qualsiasi. Inoltre, essa ha carattere intrinseco, ossia indipendente dalla base. Viceversa, il riferimento a una base restituisce la proposizione:
Proposizione
Un tensore r-covariante (o r-controvariante) è completamente simmetrico, se e solo se comunque prendiamo una base dello spazio vettoriale a cui esso appartiene, le sue componenti sono invarianti rispetto a una qualunque permutazione degli indici.

Dim.

Senza perdita di generalità, consideriamo un tensore doppio covariante:


Comunque prendiamo una base {ei} di En, è univocamente determinata la base duale {θj}


e quindi la seguente base di

cioè


cosicché


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