Logaritmo su seno iperbolico

domenica, Gennaio 24th, 2021

logaritmo,seno iperbolico,studio di funzione

In questo esercizio si chiede il comportamento di una funzione agli estremi del suo campo di esistenza X. Per "estremi" intendiamo tutti e soli i punti di accumulazione dell'insieme X non appartenenti a X, compresi i punti all'infinito giacché X non è limitato né superiormente né inferiormente. Il comportamento si studia con un'operazione di passaggio al limite che inevitabilmente restituisce una forma indeterminata.

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Questa famiglia non ha inviluppo

domenica, Dicembre 27th, 2020

famiglia di curve piane,inviluppo,punto base,studio di funzione — **Fig. 1**

Esercizio

Studiare la famiglia di curve piane:

Soluzione
Osserviamo innanzitutto che la generica curva γ_λ della famiglia assegnata è il grafico della funzione

data dal prodotto della funzione potenza di esponente reale per la funzione esponenziale e^{-x}. Dobbiamo considerare l'intervallo [0,+oo).
Intersezione con gli assi
Dal momento che l'esponente è maggiore di zero, si ha:

Cioè, il grafico passa per l'origine. Più precisamente, "parte" dall'origine.
Segno
Dal momento che la funzione è definita per x > = 0 ed è ivi non negativa, il grafico è contenuto nel primo quadrante.
Comportamento all'infinito
La funzione è manifestamente infinitesima:

Quindi l'asse x è asintoto orizzontale (a destra).
Derivata prima
Calcolando si trova

Riesce

cosicché la funzione è strettamente crescente in (0,λ) e strettamente decrescente in (λ,+oo). Ne segue che x=λ è punto di massimo relativo, anzi assoluto.

Stabiliamo il comportamento della derivata prima in un intorno destro di x=0. A tale scopo calcoliamo:

Ne segue

Cioè il grafico può "partire" da (0,0) con: 1) tangente verticale; 2) tangente orizzontale ; 3) tangente con coefficiente angolare 1, come illustrato in fig.

Derivata seconda
Abbiamo:

Bisogna però tener conto del fatto che la funzione non è definita per x < 0. Infatti, per 0 < &lmbda; < 1 è x1 < 0, per cui deve essere verificata solo x > x2. Vediamo che x2 è un flesso discendente e che il grafico è convesso in (0,x2) e concavo in (x2,+oo), come vediamo in fig.

Studiamo le intersezioni delle curve per differenti valori del parametro.

Cioè le curve della famiglia si interesecano nell'origine e in P0(1,(1/e)). Sono questi i punti base della famiglia. Ciò può essere visto applicando il procedimento standard:

Dobbiamo risolvere il sistema:

La prima implica x=0, mentre la seconda y=e^-1, cioè i punti base. Ne concludiamo che la famiglia assegnata non ammette curva inviluppo. In fig. 1 l'andamento di alcune curve della famiglia, in cui sono visibili i punti base.

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