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[¯|¯] Studio della funzione (esonero analisi matematica 1)

giovedì, Settembre 11th, 2014

Di seguito un esempio di studio della funzione.

Studiare la funzione

\begin{equation}
f\left(x\right) =\arcsin\frac{e^{x}}{3-e^{x}}+\ln\left(\frac{3+\sqrt{9-6e^{x}}}{3-\sqrt{9-6e^{x}}}\right) +\frac{3}{5}x \label{eq: 735}
\end{equation}

***

Soluzione

Insieme di definizione

La funzione è definita in X tale che

\begin{equation}
\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
\left\vert \frac{e^{x}}{3-e^{x}}\right\vert \leq1\\
\frac{3+\sqrt{9-6e^{x}}}{3-\sqrt{9-6e^{x}}}>0
\end{array}
\right. \label{eq: 735diseq}%
\end{equation}

Iniziamo a risolvere la prima delle (\ref{eq: 735diseq}), che è equivalente al sistema:

\begin{equation}
\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
\frac{e^{x}}{3-e^{x}}\leq1\\
\frac{e^{x}}{3-e^{x}}\geq-1
\end{array}
\right. \label{735diseq1}%
\end{equation}

La prima delle (\ref{735diseq1}):

\frac{2e^{x}-3}{3-e^{x}}\leq0\Longleftrightarrow x\in\left(  -\infty,\ln\frac{3}{2}\right]  \cup\left(  \ln3,+\infty\right)

La seconda delle (\ref{735diseq1})

\frac{3}{3-e^{x}}\geq0\Longleftrightarrow e^{x}-3<0\Longleftrightarrow x\in\left(  -\infty,\ln3\right)

Quindi la la prima delle (\ref{eq: 735diseq}) è verificata per:

\begin{equation}
x\in X_{1}=x\in\left( -\infty,\ln3\right) \cup\left( \ln3,+\infty\right)
\label{eq: 735X1}%
\end{equation}

Passiamo alla seconda delle (\ref{eq: 735diseq}):

\frac{3+\sqrt{9-6e^{x}}}{3-\sqrt{9-6e^{x}}}>0

Il segno del numeratore:

\begin{align*}
3+\sqrt{9-6e^{x}} & >0\Longleftrightarrow\sqrt{9-6e^{x}}%
>-3\Longleftrightarrow9-6e^{x}\geq0\\
& \Longleftrightarrow x\in\left( -\infty,\ln\frac{3}{2}\right]
\end{align*}
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[¯|¯] Studio della funzione

mercoledì, Settembre 3rd, 2014

studio della funzione

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Ricordiamo sommariamente l'algoritmo risolutivo per lo studio del diagramma cartesiano o grafico di una funzione reale di una variabile reale. Sia f una funzione reale definita in X\subseteq \mathbb{R}, cioè f:X\rightarrow \mathbb{R}. Qui X è l'insieme di definizione (denominato anche campo di esistenza o dominio) della funzione.

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