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Teorema di Lagrange (stabilità secondo Lyapunov)

mercoledì, Novembre 18th, 2020

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Per studiare la stabilità di un punto di equilibrio bisogna innanzitutto ricercare tali punti che per quanto visto, sono tutti e soli i punti critici dell'energia E(x,y), ovvero i punti estremali della funzione energia potenziale V(x). Per poter applicare questa definizione dobbiamo conoscere la soluzione (x(t),y(t)) del sistema per assegnate condizioni iniziali. Ciò è possibile solo nei casi più semplici ossia in quelli in cui il predetto sistema di equazioni differenziali è integrabile per quadrature, come nell'esempio dell'oscillatore armonico. In generale, è necessario un criterio di stbilità che non richiede l'integrazione del suddetto sistema. Nel 1644 Torricelli sapeva che la posizione di un sistema di corpi sottoposto alla gravità sarebbe stata stabile se il centro di gravità del sistema avesse occupato le posizioni più basse possibili. Lagrange generalizzò il principio di Torricelli enunciando un criterio di stabilità.
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Il caso dell'oscillatore armonico (stabilità secondo Lyapunov)

martedì, Novembre 17th, 2020

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Ricerca della curva di fase per un assegnata condizione iniziale

L'oscillatore armonico unidimensionale è una particella di massa m che si muove sull'asse x ed è ivi soggetta a una forza elastica F(x)=-kx con k>0 (costante elastica). Quindi il nostro problema di Cauchy si scrive:


Segue

il cui integrale generale è

Derivando

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