[¯|¯] La definizione di spazio metrico

mercoledì, settembre 19th, 2018

spazio metrico,metrica,spazio vettoriale,distanza

Si definisce spazio metrico un insieme X sul quale è definita una funzione

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denominata distanza o metrica, che gode delle seguenti proprietà:

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La metrica più nota è quella definita su uno spazio vettoriale normato, ossia uno spazio vettoriale dotato di norma ||.||, mediante la formula:

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Se lo spazio vettoriale è Rn e || || è la norma euclidea, la precedente formula diventa:

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e ci fornisce la distanza euclidea tra due punti x e y di Rn ovvero la lunghezza del segmento che li unisce. Questa è indubbiamente la distanza più comune, quella nota a tutti, anche ai non matematici. Ma in matematica esistono infinite metriche, alcune delle quali apparentemente “strambe”. Vediamone qualcuna.
Consideriamo un insieme arbitrario X e poniamo:

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con x,y appartenenti a X. Tale funzione prende il nome di metrica discreta e, anche se può sembrare assurdo (ogni elemento di X dista 1 da tutti gli altri), è effettivamente una distanza. Per dimostrarlo basta dimostrare che d(x, y) soddisfa tutte e quattro le proprietà che definiscono una metrica. Le prime tre si verificano immediatamente; per provare che vale anche la disuguaglianza triangolare, basta considerare i casi possibili:

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[¯|¯] Base duale

martedì, maggio 30th, 2017

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Lemma

Assegnata una base {ei) dello spazio vettoriale E, comunque prendiamo una n-pla di scalari (b1,b2,...,bn), è univocamente determinata la forma lineare φ tale che

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In simboli:
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Dimostrazione
Proviamo separatamente esistenza ed unicità.
Esistenza
Presa ad arbitrio la n-pla di scalari (b1,b2,...,bn), definiamo

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che è manifestamente un elemento dello spazio duale read more