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[¯|¯] Sistemi dinamici a tempo discreto

giovedì, Marzo 26th, 2020

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Non sappiamo cosa succederà dopo il raggiungimento del "picco massimo", nel senso che sicuramente dovremo cambiare equazione differenziale. A questo punto, giova osservare che il paradigma delle equazioni differenziali non è poi così affidabile per la semmplice ragione che qui abbiamo variabili discrete e non continue (precisamente il tempo e il numero intero N). Ritorniamo, quindi, allo spazio delle configurazioni. Infatti, è ben noto che i corrispondenti sistemi a tempo discreto esibiscono (sotto opportune condizioni i.e. per speciali funzioni di trasferimento) bacini di attrazione, ergodicità, punti di biforcazione (caos deterministico), etc. (altro…)




[¯|¯] Spazio delle configurazioni di un sistema lineare

sabato, Giugno 16th, 2018

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Applichiamo le nozioni precedenti ai sistemi autonomi lineari (del primo ordine), rammentando che

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e

0=0) e non omogeneo (ß0=/0). Per quanto visto in precedenza l'integrale generale per ß0=0 è

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Dopo aver posto t0=0, consideriamo la condizione iniziale

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onde

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da cui l'integrale particolare che verifica il predetto problema di Cauchy:

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Introduciamo la grandezza
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avente le dimensioni di un tempo e che si chiama costante di tempo del sistema. Ne consegue:

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Abbiamo, dunque, una crescita esponenziale per α0>0 e una decrescita esponenziale per α0<0. In fig. eq:traiettoria_p1 riportiamo il grafico di ξ(t) per α0>0 e per differenti valori della costante di tempo.

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La regione dello spazio delle configurazioni accessibile per il sistema autonomo lineare ed omogeneo assegnato, è

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come illustrato nelle figg. seguenti

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Regione dello spazio delle configurazioni accessibile a un sistema autonomo lineare ed omogeneo nel caso α0>0. Il sistema evolve deterministicamente a partire dallo stato iniziale (x00x0).
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Regione dello spazio delle configurazioni accessibile a un sistema autonomo lineare ed omogeneo nel caso α0<0. Il sistema evolve deterministicamente a partire dallo stato iniziale (x00x0).

In entrambi i casi il sistema evolve deterministicamente a partire dallo stato iniziale ((x00x0)). In simboli:

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dove

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