Spazi di Hilbert. Prodotto hermitiano e metrica

mercoledì, Marzo 10th, 2021

Sia H uno spazio di Hilbert.
Definizione
Comunque prendiamo f,g appartenenti ad H, chiamiamo distanza tra f e g, il numero reale:

Tale definizione è ben posta in quanto sono soddisfatti gli assiomi che conferiscono alla funzione ρ(f,g) la natura di distanza. Infatti, rammentando le proprietà della norma si ha:

Ne segue che il prodotto hermitiano induce una metrica in H

In altri termini, un qualunque spazio di Hilbert è uno spazio metrico. Ricordiamo incidentalmente, che in topologia una metrica può essere introdotta indipendentemente da un prodotto hermitiano. Di contro, negli spazi di Hilbert la metrica è indotta dal prodotto hermitiano. Alla stessa maniera, in uno spazio euclideo è il prodotto scalare che determina la metrica.
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[¯|¯] Spin newtorks e spazi di Hilbert

mercoledì, Marzo 27th, 2019

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Rappresentare gli spin networks di Penrose attraverso quell'oggetto topologico denominato grafo potrebbe essere fuorviante, in quanto si è automaticamente indotti a congetturare l'esistenza di uno spazio di background. Al contrario, lo scopo delle reti di spin consiste proprio nello svincolarsi da uno spazio di sfondo, in accordo con il principio di Mach. Rammentiamo incidentalmente, che la prima "avvisaglia" dell'assenza oggettiva del predetto spazio, proviene dalla Relatività Generale elaborata da A. Einstein nel 1916. Infatti, nacque un sodalizio tra Einstein e Mach proprio in relazione alle proprietà dello spazio. In sostanza, Mach sosteneva che l'inerzia altro non è che l'azione gravitazionale dei "corpi lontani" (che Mach chiamava "stelle lontane"). In parole povere, per Mach non esiste uno "spazio contenitore della materia", ma è l'interazione tra "parti di materia" che determina le proprietà dello spazio. Da qui la metafora einsteiniana del marmo pregiato (primo membro delle equazioni di Einstein, ovvero la geometria dello spaziotempo) e del legno rozzo (materia).

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